塑性力学
第一章 简单应力状态下的 弹塑性力学问题
§ 1.1 § 1.2 § 1.3 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7 § 1.8 § 1.9 §1.10 §1.11 引言 材料在简单拉压时的实验结果 应力应力-应变关系 简化模型 轴向拉伸时的塑性失稳 简单桁架的弹塑性分析 强化效应的影响 几何非线性的影响 弹性极限曲线 加载路径的影响 极限载荷曲线（ 极限载荷曲线（面） 安定问题
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
σ
(4)
σS
ε ≤ εs时 σ = Eε, 当 ， 当 ， ε > εs时 σ = σssignε
O εS
ε
图 3
适用：强化率较低的材料， 适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应
2．线性强化弹塑性模型
当 ≤ σS时 ε = σ , σ E, σ , 当 > σS时 ε = σ / E + (σ −σs )( 1 − 1 )signσ E′ E
适用： 适用：材料的强化率较高且在一定范围 内变化不大σSE′O 源自SEε图 4
3．一般加载规律
对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系： 对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：
σ = φ(ε) = Eε[1−ω(ε)]
其 中 0 ω(ε) = [Eε -φ(ε)]/(Eε) 当 ≤ εs ε 当 > εs ε
当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
应力§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
σ < σs时 ε = σ E 当 ， 当 ， σ = σs时 ε = σ E + λsignε
在最高点以后， 在最高点以后，增加应变时 应力反而下降， 应力反而下降，在通常意义 下称试件是不稳定的。 下称试件是不稳定的。
σS
σ
MC M 1
A
O
M
A'
'
N
ε
图2（a）
M''
注意：拉伸试件在出现颈缩后，试件局部区域的截面积会有 注意：拉伸试件在出现颈缩后， 明显减少， 明显减少，再用名义应力和应变来描述此时的材料特 性是不适当的
上式表明， 内变量）一定时， 之间有单一的对应关系。 上式表明，当εP（内变量）一定时，σ与ε之间有单一的对应关系。
2. σ与ε之间的线性关系 ε=σ/E+εp
（1）
式是有适用范围的。对于固定的内变量ε 式是有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε σ 并不能随意取值。 并不能随意取值。
MC M 1
三、两种现象
σ
M
C
应变强化：
材料经过塑性变形得到强化
σS
A
O
包氏效应：
实验曲线反向加载： 实验曲线反向加载：
M
A'
'
N
ε
M''
图2（a）
单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a） 单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高( 中的M´´点 中的M´´点) 多晶体，其压缩屈服应力（ 多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始 就反向加载时的屈服应力（ ）。这种由于拉伸时强 就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应 包氏效应（ 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschinger effect）。 effect）。
σ
(6)
A
C
——表示图5（a）中的 AC/ AB 表示图5 表示图 线段比
O ε
p
B
ε
ε
(a)
4．幂次强化模型
σ = Bε
m
（8） σ σ0 signε,
1.0
（其中B>0，0<m<1）
注：这种模型在 ε =0处的斜率为 无穷大， 近似性较差， 无穷大 ， 近似性较差 ， 但在数学 上比较容易处理。 上比较容易处理。
2、真应力
~ = P, σ A
3、对数应变
P） σ , （名义应力 = A 0
~ = ι dl′ = ln( l / l ) = ln(1+ ε) ε ∫ 0 l′ ι0 l − l0 （ 义 变 = 名 应 ε ） , l0
4、截面积收缩比 q=（A0-A）/A0 q=（
二、真应力
假定材料是不可压缩的： 假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩： 达到最高点C时出现颈缩：
§1.1 引言
一、变形 弹性变形： 弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的 对应关系 非弹性变形： 非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系 塑性变形 （是指物体在除去外力后所残留下 非弹性变形
的永久变形） 的永久变形） 弛等） 弛等） 随时间而改变，如蠕变、 粘性变形 （随时间而改变，如蠕变、应力松
σ
(5)
（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同） 假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
ε ≤εs时σ = Eε 当 , , 当 ε > εs时σ = [σs + E′(ε −εs )]signε.
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变， 说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 0.7 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性， 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型 等向强化模型
σ
例如，对处于图2（a）中的M点，当加 中的M 例如，对处于图2 载时即应力（或应变）继续增长时， 载时即应力（或应变）继续增长时， 应力应变曲线将沿AMM 方向延伸， 应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公 当卸载时即应力（或应变） 当卸载时即应力（或应变）减小时应 力应变曲线才以（ 式的规律沿MN 力应变曲线才以（1）式的规律沿MN 向下降。 向下降。为了区分以上这种加载和卸 载所具有的不同规律， 载所具有的不同规律，就必须给出相 应的加卸载准则 加卸载准则。 应的加卸载准则。
σ
M M1 C C
σ
σS
O
A
上屈服点
M1
σS
M
下屈服点
N
ε
p
ε
e
ε
O
εS
ε
M′
A′
(a)
M ′′
(b) 图 2
实验曲线加载过程
线弹性阶段 非线性弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段
实验曲线卸载过程
σp
σ
σb
σS
A M
C
σe σs σb
O
N
ε
弹性阶段： 弹性阶段：卸载沿原路返回 塑性阶段：卸载沿直线返回， 塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性 阶段相同
由颈缩时的条件
拉伸失稳时真应力所满足的条件: 拉伸失稳时真应力所满足的条件: ~ ~ σ dσ = , dq (1- q)
三、材料本身的失稳现象
例如，在低碳钢拉伸实验中由上屈服应力突然下降到下 例如， 屈服应力的现象， 屈服应力的现象，它与材料变形的内部微观机制的变化 有关。 有关。 随着材料的变形，微裂纹和（或）孔洞的生成及汇合也将会 随着材料的变形，微裂纹和（ 造成材料的弱化而导致失稳。称之为应变弱化。 造成材料的弱化而导致失稳。称之为应变弱化。
适用： 适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等 的。
σ
随动强化模型 p σ −ψ(ε ) = σs ,
p 的单调递增函数） （ψ(ε ) 是塑性应变ε p的单调递增函数）
MC M 1
σS
A
上式在线性强化情形下也可写为
σ − hε = σs ,
p
dψ （h = p 是一个常数 ） dε
O
四、实验总结
1 、 在材料的弹塑性变形过程中 ， 应力与应变之间已不再 在材料的弹塑性变形过程中， 具有单一的对应关系。 具有单一的对应关系。 加载路径—— 加载路径——σ与ε之间的关系依赖于加载路径 ——σ 内变量——宏观参量， 内变量——宏观参量，用来刻画加载历史 ——宏观参量 例如，作为最简单的近似，可以取内变量ξ为塑性应 例如，作为最简单的近似，可以取内变量ξ 而将简单受拉（ 变εp，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为 ε=σ/E+εp （1） ——其中 ——其中E为杨氏模量 其中E
基本方程: 基本方程: ①几何关系 ②守恒定律 ③本构方程
§1.2 材料在简单拉压时的实验结果
一、实验描述
A0 A0
l0 l0
材料：金属多晶材料 材料： 受力： 受力：单向拉伸或压缩实验 名义)应力： (名义)应力：σ=P/A0 名义)应变：ε=（ (名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0
二、实验曲线
n =1 n=2 n =5 n =∞
O
1.0 10
7
Eε
σ0
图6
5．Ramberg-Osgood模型 Ramberg-Osgood模型 其加载规律可写为：
ε / ε0 = σ /σ0 + (σ /σ0 ) . （9）
如取
σ = σ0 就有 10 10 σ0 ε = 7 ε0 = 7 E ,
3 7
n
MC M 1
σ =ψ(ξ),
dε P ∫