x1 + λ x2 y1 + λ y2 a11 x3 − 1 + λ + a12 y3 − 1 + λ = 0, a x − x1 + λ x2 + a y − y1 + λ y2 = 0, 22 3 21 3 1+ λ 1+ λ
∆abc
与
∆ABC
的面积之比为
S ∆ABC = a11a22 − a12 a21 S ∆abc
. 推论1.1 (1) 两个平行四边形面积之比是仿射不变量. (2) 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
一、仿射几何与平面几何
性质1.5 性质1.5 在平面上给定不共线三点
C A、B、
A、 、 B C
及不共线三点
X3 = X1 + λ X 2 1+ λ
和
Y3 =
Y1 + λY2 + x + λ ( a11 x2 + a12 y2 + x0 ) a11 x3 + a12 y3 + x0 = 11 1 12 1 0 , 1+ λ a x + a y + y = a21 x1 + a22 y1 + y0 + λ ( a21 x2 + a22 y2 + y0 ) , 0 21 3 22 3 1+ λ
.
一、仿射几何与平面几何
例1.4 能否在三角形ABC中找一个内接四边形PQRS，如图，使得 S1 = S 2 = S3 = S 4 ？
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届 都有一道不等式. 数学奥林匹克中不等式的题目甚多，几乎每届IMO与CMO都有一道不等式 与 都有一道不等式 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜. 在我国高中联赛中，不等式也是屡见不鲜
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
x + λ x2 = 0, x3 − 1 1+ λ y − y1 + λ y2 = 0, 3 1+ λ
一、仿射几何与平面几何
性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 性质1.4 任意两个三角形面积之比是仿射对应下的不变量. 说明：其实我们在性质1.1的说明中，已经证明了
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
x1 1 x2 2 x3 y1 1
三点连线，则
y2 1 = 0， 则 y3 1 a21 x1 + a22 y1 + y0 1 a11 x1 + a12 y1 1 = a11 x2 + a12 y2 2 a11 x3 + a12 y3 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3 a21 x1 + a22 y1 1 a21 x2 + a22 y2 1 a21 x3 + a22 y3 1
推论1.2 (1) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形 (2) 在平面上给定不共线三点A、B、C, 总存在一仿射变换把三角形
∆ABC 变到等腰直角 ∆A′B′C ′ 是否有解. ′ ∆ABC 变到等边 ∆A′B′C.
一、仿射几何与平面几何
B．若干应用 例1.1 、将平形四边形ABCD 各边三等分(如图) , 连EF、FH、HG、GE, 求证：S△A EF= S△DFH= S△CHG= S△BGE
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
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二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
二、算术-几何平均不等式与最值单调定理 算术 几何平均不等式与最值单调定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
三、局部调整法，Schur条件与最值压缩定理 局部调整法， 条件与最值压缩定理
其中：
a11 a12 ≠0 a21 a22
，即
a11a22 − a21a12 ≠ 0
一、仿射几何与平面几何
性质1.1 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性 仿射变换保持一一对应性、同素性、结合性. 性质 说明：一一对应性指的是变换
（1）有逆变换，其实逆变换也是仿射变换； （2）同素性指的是：点变换成点，直线变换成直线.后者也就是说：若三点连线，变换后新三点也连线.证明：若
A′、 ′、 ′,总存在一仿射变换把 B C
分别变到
A′ 、 B′ 、C ′
说明：若 A 、B 、C 的坐标分别为
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 )
， A′、B ′ 、 ′ 的坐标为 C
( X 1 , Y1 ) , ( X 2 , Y2 ) , ( X 3 , Y3 ) ， 则问题化为：在
x1 x2 x3
y1 1 y2 1 ≠ 0 y3 1
和
X 1 Y1 1 X 2 Y2 1 ≠ 0 X 3 Y3 1
的条件下，问关于
a11 , a12 , a21 , a22 , x0 , y0 的方程
X 1 = a11 x1 + a12 y1 + x0 Y =a x +a y + y 21 1 22 1 0 1 X 2 = a11 x2 + a12 y2 + x0 Y2 = a21 x2 + a22 y2 + y0 X 3 = a11 x3 + a12 y3 + x0 Y3 = a21 x3 + a22 y3 + y0
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
四、高次多项式的图像性质与三角形不等式的证明
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
五、对称条件与非对称结果
参考文献
[1]杨拥良.荀洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用.中等数学，2009年2期，P.8-11. [2]何作发.仿射几何的几点应用.湖北大学成人教育学院学报，2004年第8期，P.76-78. [3]张小明，褚玉明.解析不等式新论.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年6月. [4]Albert W．Marshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applications[M]． New York :Academic Press,Inc,1979． [5]王伯英．控制不等式基础[M]．北京：北京师范大学出版社，1990年． [6]张小明.三角形不等式的“B-C”证法．不等式研究（杨学枝主编），拉萨：西藏人民出版社，2000年6月. [7]杨学枝.两个三元不等式及其应用.中国初等数学研究，2009年第1期，P.7-16. [8]Vasile Cirtoaje.Old and New Methods.GIL Publishing House (Zalau, Romania),2006. [9]/viewtopic.php?f=25&t=23&sid=5a884a2ab0d6108cb568b1faa4cd8c82 作者介绍： 作者介绍： 张小明，浙江电大海宁学院数学副教授，校科研督导处主任，安徽大学93届硕士毕业生，全国不等式研究会常务理 事、秘书长，全国初等数学研究会常务理事，《中国初等数学研究》编委.在国内外发表学术论文五十多篇，出版学 术专著两本.
证明：通过仿射变换，把
∆ABC 变成等腰直角三角形（ ∠B = Rt ∠ ），则此时平形四边形ABCD为正方形 ABCD
△AEF、△DFH、△CHG、S△BGE为全等三角形，命题得证.
一、仿射几何与平面几何
例1.2 求证：三角形的三条中线共点.
一、仿射几何与平面几何
y 2 x2 例1.3 求证椭圆 2 + 2 = 1 的面积为 π ab a b
a21 x2 + a22 y2 + y0 1 a21 x3 + a22 y3 + y0 1 a12 y1 1 1 + a12 y2 2 1 a12 y3
a22 y1 1 a22 y2 a22 y3