移项整理，得：
ti , j ti 1, j t 0x ——向后差分 x x i , j
（1）式减（2）式，得：
ti 1, j ti 1, j t 0 x 2 ——中心差分 2x x i , j


（1）式加（2）式，得：
ε
——允许误差
简单迭代法的缺点 ——由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值， 使运算过程接近真实值的时间增加
高斯－赛德尔迭代法 ——将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值
1 t10 t1 0 t2 0 tn 1 t1 1 t1 t12
t12
t12
t1k
t1k 1
迭代法
迭代法的原理
假定初值
根据假定的初值求新值， 并重复此步骤若干次 两次计算值足够接近， 认为达到真实值
简单迭代法——每次迭代时使用上次迭代的结果
t10 0 t2
0 tn

1 t1 1 t2

1 tn

t1k k t2
k tn

t1k 1 k 1 t2
k t n 1
max tik 1 tik 时结束
3.C＋＋ —— C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计 语言，数值计算软件主要使用的语言。
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
ti 1, j 2ti , j ti 1, j 2t 2 0 x 2 x x 2 i , j


同理可得：
ti , j 1 2ti , j ti , j 1 2t 2 0 y 2 y y 2 i , j
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点

ti 1, j ti , j y ti , j 1 ti , j x x y ht f ti , j ht f ti , j 0 x 2 y 2 2 2


k k k k ti Fo ti 1 ti 1 1 2 Foti


优点——可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算(k+1)Δ τ 时刻温度分布 缺点——选择Δ x和 Δ τ 时必须满足稳定性条件 a a 1 或 1 2 0 2 2 x x 2
Δx＝Δy时简化为：
t
i 1, j
hx hx ti , j 1 2 2 tf 0 ti , j 2
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
三、节点离散方程组的求解——迭代法
消元法——方程过多时计算机内存不足 离散方程组的求解方法
2.热平衡法 ——对每个节点所代表的元体用傅立叶定律直接写出其能量守恒表达式
由微元体四个方向导入微元体的热量分别为：
ti 1, j ti , j LP x ti 1, j ti , j RP x ti , j 1 ti , j TP y ti , j 1 ti , j BP y
根据能量守恒定律： 将四式相加并除以 ΔxΔy，即得到 ：
LP
y y x x
RP TP BP 0
x
2
与泰勒级数展开法 结果完全相同
Байду номын сангаас
ti 1, j 2ti , j ti 1, j

ti , j 1 2ti , j ti , j 1 y
2
0 1 1 t2 t2 t2 0 tn 0 tn 1 tn
1 2 2 k k t2 t2 t2 t2 t2 1 1 tn 1 tn 2 tn k tn k tn 1
max tik 1 tik 时结束
高斯－赛德尔迭代法的优点 ——由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值， 使运算过程接近真实值的时间缩短
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
物理问题的数值求解过程
移项整理，得：
ti 1, j ti , j t 0x ——向前差分 x x i , j
0（Δ x）——截断误差
用节点（i,j）的温度来表示节点（i-1,j）的温度：
ti 1, j ti , j
2t x 2 3t x 3 t x 2 3 (2) x x x i , j i , j 2! i , j 3!
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
t 2t a x 2
tik 1 tik tik1 2tik tik1 a 一维非稳态导热内节点差分方程： x 2
移项整理后得到：
tik 1
a k a ti 1 tik1 1 2 x 2 x 2
Δx＝Δy时简化为：
ti , j
2xqw 1 2ti 1, j ti , j 1 ti , j 1 4
绝热边界：
ti , j
1 2ti 1, j ti , j 1 ti , j 1 4
3.第三类边界条件： qw h t f ti , j
二、隐式差分格式
一维非稳态导热内节点差分方程：
tik tik 1 tik1 2tik tik a x 2
或可写成：
tik 1 tik tik1 2tik 1 tik1 1 a 1 x 2
节点(i,j)处新值依赖于相邻节点新值， 未知值间相互耦合，方程组必须联立求解
细密 结果更精确， 但运算时间长
稀疏
运算时间短， 但结果误差较大
网格细密程度应合理选择
二、建立离散方程的方法
2t 2t ——即将 2 0 转换为差分格式 2 x y
1.泰勒级数展开法
用节点（i,j）的温度来表示节点（i+1,j）的温度：
ti 1, j ti , j
2t x 2 3t x 3 t x 2 3 (1) x x x i , j i , j 2! i , j 3!
由于泰勒级数展开法对复杂情况的处理存在困难， 边界节点差分方程一般用热平衡法来建立。
二、边界节点离散方程的建立
——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
ti , j t w
2.第二类边界条件：

ti 1, j ti , j x ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y qw y 0 y 2 y 2


二维稳态导热离散方程：
ti 1, j 2ti , j ti 1, j x
2

ti , j 1 2ti , j ti , j 1 y
2
0
正方形节点时， Δx＝Δy，离散方程为 ：
ti 1, j ti 1, j ti , j 1 ti , j 1 4ti , j 0
数值法求解物理问题的计算机原理：
决定待运算数据的存贮量
节点方程
输入设备 临时存贮单元 计算结果
决定数据的运算速度
运算中枢
输出设备
存贮器
第一节 建立离散方程的方法
一、区域和时间的离散化（以二维导热为例） 网格 微元体
内节点
边界节点
空间步长：Δ x，Δ y
时间步长： Δ τ
网格细密程度对求解过程的影响

ti 1, j ti , j x


ti , j 1 ti , j x ti , j 1 ti , j x y ht f ti , j y 0 y 2 y 2
Δx＝Δy时简化为：
2t
i 1, j
hx hx ti , j 1 ti , j 1 4 2 ti , j 2 tf 0
0
第二节 稳态导热的数值计算
一、内节点离散方程的建立
常物性、无内热源的二维稳态导热中，均分网格的表达式：
ti 1, j ti 1, j ti , j 1 ti , j 1 4ti , j 0
对于每个内节点，差分方程均可写出，但尚需补充边界节点 的差分方程，才能得到描述整个导热问题的完整方程组。
优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算 (k+1)Δ τ 时刻温度分布
第四节 常用算法语言和计算软件简介
一、常用算法语言
1.FORTRAN语言 ——Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。
2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合 起来的应用程序设计语言。