• 不同的单元之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
光
多栅
束衍
衍射
射的
光实
之质
间：
的
相
da
da
干 叠
加
一、衍射强度分布 衍射积分求解 （振幅矢量法略）
• 满足近轴条件 F ( 0, ) E
1
ikr
er
d
d
a
KE
r0
eikr d
0
不透光部分 E
N
KE
ikrn
r
0
n
[
1
ne
n
d]
若各缝彼此不相干，接收屏上花样分布与单缝一样，
sin(N ) e
e iN
i
e
e iN
i
e
(
e e1 ikL i( N 1)
sin
e e1 ikL i( N 1)
N(
)
d sin )
N ( ) sin(N ) sin
N元干涉因子
光栅衍射的复振幅与强度
E
KE
I (P)
I0
(
sinu u
)2
sin N (
sin
)2
ikr0 ikL1
r e ei(N 1)
)2
sin N (
sin
)2
当干涉的最大值与衍射的极小值重合时，出现缺级 干涉极大位置sinθ=jλ/d
衍射极小位置sinθ=nλ/a j/d= n/a，即 j=nd/a。谱线级数缺失。
j=-3 j=-2 j=-1j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
对于实用的衍射光栅，只有主极大的前几个衍射级 是可用的；其它的衍射主极大和次级大完全可以忽略。
d sin j
色散本领
d cos
j
D
j
d cos
j d cos
由Rayleigh判据， = 为可以分辨的极限。
Nd cos
j d cos
jN
可分辨的最小波长间隔
A
jN
色分辨本领
光栅的分辨本领
0 1 N=20
500nm 510nm 2
0 1 N=200
0
d 0
相邻单元间总的光程差
d (sin sin 0)
N元干涉因子取得主极大的条件
d (sin sin 0) j j 0, 1, 2,...
0 0
光栅方程为
d (sin sin 0) j
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取+； 入射光与衍射光在光栅法线异侧，取-。
五、 光栅光谱的角宽度和色分辨本领
• 1．谱线的半角宽度（角半径） 极大值到相邻极小值的角距离
四、光栅方程
• 光栅光谱由N元干涉因子，即缝间干涉因子决定。 β=πdsinθ/λ=jπ对应j级光谱。
• 平行光正入射时，各个衍射主极大值的位置由方 程sinθ=jλ/d，即dsinθ=jλ确定。 光栅方程：
d sin j , j 0, 1, 2,...
• 如果入射光与光栅不垂直，则必须计算入射光的 光程差。
I (P)
I
0
(
sinu u
)2
(sin N sin
)2,
• 而杨氏干涉为
2
I (P)
4I0
sin2
u
2
cos
u
I 2I0[1 cos( )] 2d
2I0[1 cos( sin )]
I1 I2 I0 sin
当a 时，u= a sin 0 sinu u
E [K
r
0
a
nu N ]
eikLn
u n1
E
a n u 单缝衍射的结果，对每个缝都一样
r
u
N~( )
0
N
eikL n
多缝间的干涉
n1 N
eik[L (n 1)d sin ] 1
n1
N
eikL1
eik(n 1)d sin
n1
N1
e e ikL1
i2n
n0
1
ikL1
e1
e2iN e 2i
iN
e e ikL1 i
L1
x
rn
n
Ln
L2
xn
L3
nz
LL
L 4
2
1
L3 L2
rn Ln xn sin
d sin
Ln L1 (n 1)
E KE
r
0 n1
N
ikLn
r
0
n
1e
ikrn
n
ne d ]
KE
dx a/2 ikx sin
n
n
a/2 e
N
a/2 ik( L x sin )
[ e dx ] n n
n
r0 n 1 a/2
1 两者相等
杨氏干涉中，狭缝足够细，每一缝只有一个次 波中心。此时没有单缝衍射。
三、衍射花样的特点
• 1．衍射极大值位置
I (P)
I0
(
sinu u
)2
(sin N sin
)2
(1) 主极大由 N( )决定
极大值
j , N( ) sin N
sin
sinu 2 2
(2)对I应( j一)系列I0的( 亮u 条)纹N（光谱线）
d sin j ，
d sin(
d cos
)j 1 N
1 N
0 1
dsin /
2
与j无关 Nd cos L cos
L Nd 光栅的有效宽度
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
• 2．光栅的色分辨本领
非单色光入射时，除零级条纹外，各级主极大的位置不同 波长相差 的同一级光谱在空间分开的角距离
sinu sin N u sin
0
KE
I0 a
0
r0
单个狭缝在像方焦点处的光强 (0级光强)
(sinu )2 u
单缝衍射因子
a sin
sin N (
)2
缝间干涉因子
d sin
sin
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
N=6,d=5a
N=20,d=3a
随着N的变大，谱线变锐
二、双缝衍射，N=2
各缝强度直接相加。
若各缝彼此相干，则空间某点的总振幅为所有缝在 该场点处的复振幅的相干叠加。
E
物理过程：
N
r
0 n1
ikrn n
ne d ]
da
1.每一个狭缝的光在场点的衍射， 即求单缝衍射复振幅；
2.各个狭缝的衍射光在场点的复振幅 再进行干涉。
先处理每个单元的衍射，再处理所有单元间的干涉。
0
d
d sin j 与N无关
N, j：谱线级数
(3)谱线强度受衍射因子调制。
j 0, 1, 2,...
• 2．极小值位置
(1)衍射因子极小值 (sinu )2 0 u n ,u 0
u
u a sin
a sin n
(2)干涉因子极小值
sin N (
2
n 1, 2,...
N m, j
sin ) 0,
d sin m / N,且d sin j
极小值出现在以下位置
s(iNn 1) 0/ N, d/, (NNd, 2) / Nd, / Nd, / d ,
两主极大值之间有N-1个最小值，N-2个次极大值。
N=4 d=3a
I0(sinu/u)2 (sinNβ /sinβ )2
u=π asinθ /λ
• 3．谱线的缺级
I (P)
I0
(
sinu u
3.6 多缝夫琅和费衍射（光栅衍射）
光栅：具有周期性空间结构或光学性能（如透射率和 反射率）的衍射屏。
a
•可以具有反射
bd
或透射结构。
d称为光栅常数
夫琅和费多缝衍射是 典型的光栅衍射。
透射光栅
反射光栅
0
0
da
P f
• 经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
• 光栅的每一个单元，是次波的叠加，按衍射分析；