陕西省西安市蓝田县中考数学四模试卷（解析版）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的．1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．如图，是一根粉笔的示意图，它的主视图是（）A． B． C．D．【分析】找出从几何体的正面看所得到的视图即可．【解答】解：粉笔的主视图是等腰梯形，故选：C．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．3．下列运算正确的是（）A．2xy﹣3xy=﹣1 B．x5÷x=x5C．m3•m2=m6D．（﹣m3n4）2=m6n8【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方和幂的乘方的性质对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、2xy﹣3xy=﹣xy，故本选项错误；B、x5÷x=x5﹣1=x4，故本选项错误；C、m3•m2=m3+2=m5，故本选项错误；D、（﹣m3n4）2=（﹣m3）2•（n4）2=m6n8，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．如图，已知直线a⊥c，直线b⊥c，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．20° B．25° C．50° D．65°【分析】先根据题意得出a∥b，再由平行线的性质得出∠3的度数，由余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直线a⊥c，直线b⊥c，∴a∥b，∠3=90°．∵∠1=∠4=65°，∴∠2=90°﹣65°=25°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．5．已知正比例函数y=（﹣2k+2）x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围．【解答】解：根据y随x的增大而增大，知：﹣2k+2＞0，解得k＜1．故选C．【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y 随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EF，若EF=3，BD=6，则菱形ABCD的面积为（）A．6 B．9 C．18D．36【分析】根据EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．【解答】解：∵E、F是AB和BC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴AC=2EF=6，则S菱形ABCD=AC•BD=×6×6=18，故选C．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键．7．直线y=2x﹣3与y=﹣x+3的交点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】将y=2x﹣3与y=﹣x+3联立方程组，求出方程组的解，然后即可判断交点在第几象限，本题得以解决．【解答】解：，解得，，∴直线y=2x﹣3与y=﹣x+3的交点是（2，1），∵点（2，1）在第一象限，∴直线y=2x﹣3与y=﹣x+3的交点在第一象限，故选A．【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键求出两条直线的交点，明确各个象限内点的坐标的正负情况．8．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为点E、F，则图中共有全等三角形（）A．5对B．6对C．7对D．8对【分析】先根据平行四边形的性质得AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，则根据全等三角形的判定方法易得△OAD≌△OCB，△OAB≌△OCD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，再由AE⊥BD，CF⊥BD，则根据全等三角形的判定方法易得△OAE≌△OCF，△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，∴△OAD≌△OCB，△OAB≌△OCD，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴△OAE≌△OCF，△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，点C是优弧上一点，连接OA、OC．若∠AOC=100°，则∠B的度数为（）A．150°B．130°C．100°D．50°【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD、CD．由∠D=∠AOC=50°，∠B+∠D=180°，即可解决问题【解答】解：在优弧AC上取一点D，连接AD、CD．∵∠D=∠AOC=50°，又∵∠B+∠D=180°，∴∠B=130°，故选B．【点评】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m+1，n），B（m﹣9，n），则n=（）A．16 B．18 C．20 D．25【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x=m﹣4．故设抛物线解析式为y=（x﹣m+4）2，直接将A（m+1，n）代入，通过解方程来求n的值即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A（m+1，n），B（m﹣9，n），∴对称轴是x=m﹣4．又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为y=（x﹣m+4）2，把A（m+1，n）代入，得n=（m+1﹣m+4）2，即n=25．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．二、填空题：共5小题，每小题3分，共12分．11．比较大小：﹣2 ＞﹣（填“＞”，“＜”或“=”）【分析】先计算两数的绝对值得到|﹣2|﹣2，|﹣|=，由于＞2，根据负数的绝对值越大，这个数反而越小即可得到﹣2与﹣的大小关系．【解答】解：∵|﹣2|﹣2，|﹣|=，而＞2，∴﹣2＞﹣．故答案为＞．【点评】本题考查了实数大小比较：所有正数大于0，所有负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．12．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 36°．【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，∴∠C=180°﹣72°=108°，∵CD=CB，∴∠CDB=36°，∵AF∥CD，∴∠DFA=∠CDB=36°．故答案为：36°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．13．小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为23.3 m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）．【分析】根据锐角三角函数可以求得CD的长，从而可以求得CE的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，BC=25m，BA=DE=1.5m，∠CBD=61°，∵sin∠CBD=，∴CD=BC•sin∠CBD=25×sin61°≈25×0.87≈21.8，∴CE=CD+DE=21.8+1.5=23.3m，故答案为：23.3．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．14．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为2，则k的值为﹣4 ．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=2，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=2，而S△OAB=|k|，∴|k|=2，∵k＜0，∴k=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 2 ．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．三、解答题：共11小题，共78分，解答应写出过程．16．（5分）计算：（π﹣3.14）0+|﹣3|﹣2（tan60°+cos30°）．【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（π﹣3.14）0+|﹣3|﹣2（tan60°+cos30°）=1+3﹣2×（+）=4﹣3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．17．（5分）解方程：．【分析】本题考查解分式方程的方程，因为x2﹣4=（x+2）（x﹣2），所以可确定原方程的最简公分母为（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意一定要检验．【解答】解：去分母，得x（x+2）﹣（x2﹣4）=2，去括号，得x2+2x﹣x2+4=2，整理，得2x=﹣2，解得x=﹣1，检验：将x=﹣1代入（x+2）（x﹣2）=﹣3≠0，∴x=﹣1是原方程的解．【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．18．（5分）如图，已知△ABC，请利用尺规求作一直线AD，使其平分△ABC的面积（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】首先作出BC的垂直平分线，可确定BC的中点记作D，再根据三角形的中线平分三角形的面积画出直线AD即可．【解答】解：作法：作边BC的中垂线EF，交BC于D，作直线AD，则直线AD平分△ABC的面积．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法，掌握三角形的中线平分三角形的面积．19．（5分）手机党，简称MP，是对使用手机进行互联网交流人群的称谓．他们做任何事都离不开手机，有些甚至过分依赖手机而形成了“手机瘾”．某校团组织为了解初三毕业生的手机使用情况，随机调查了部分初三毕业生的手机使用时间，并将调查结果分成了以下五类如图，已知∠ABC=90°，点D是AB延长线上一点，AD=BC，过点A作AF⊥AB，且AF=BD，连接CD、DF．求证：CD⊥DF．【分析】利用垂直的定义得到一对直角相等，利用SAS得到三角形AFD与三角形BDC全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ADF=∠BCD，利用等式的性质及垂直定义即可得证．【解答】证明：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC=90°，在△AFD和△BDC中，，∴△AFD≌△BDC（SAS），∴∠ADF=∠BCD，∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，即∠CDF=90°，∴CD⊥DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．21．（7分）雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG=2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH=1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD=EF=1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．【分析】由题意知，CD=EF=1.6m，DG=2.8m，DF=1.5m，GH=1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到=， =，可得=，求得BD=21m，得到=，解得AB=13.6m，从而求解．【解答】解：由题意知，CD=EF=1.6m，DG=2.8m，DF=1.5m，GH=1.7m，∴FH=2.8﹣1.5+1.7=3m，∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=， =，∴=，即=，解得BD=21m，∴=，解得AB=13.6m．即该校旗杆的高度AB为13.6m．【点评】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．22．（7分）2017年西安的雾霾天气趋于严重，某商城根据市场需求，从厂家一次购进了A、B两种空气净化器180台，已知销售每台A种空气净化器的利润为200元，销售每台B种空气净化器的利润为300元，设该商城购进A种空气净化器x台，销售完这批空气净化器所获得的总利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若该商城规定B种空气净化器的进货量不超过A种空气净化器的2倍，则该商城购进A型、B型空气净化器各多少台时，才能使销售完这批空气净化器所获得的总利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据题目条件“销售每台A种空气净化器的利润为200元，销售每台B种空气净化器的利润为300元”即可得到y与x之间的函数关系式；（2）由题目条件“商城规定B种空气净化器的进货量不超过A种空气净化器的2倍”可求出自变量x的取值范围，进而利用一次函数的性质可得到所获得的总利润．【解答】解：（1）由题意得：y=200x+300（180﹣x）=﹣100x+54000；（2）由题意得：180﹣x≤2x，解得：x≥60，∵﹣100＜0，∴y=﹣100x+54000随x的增大而减小，∴当x=60时，y最大值=﹣100×60+54000=48000，此时180﹣x=120，答：该商城分别购进A型、B型空气净化器各60台、120台台时，才能使销售完这批空气净化器所获得的总利润最大，最大利润为48000元．【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．23．（7分）爸爸下班回家呆了一张同事送的《加勒比海盗5》的电影票，结果两小儿子都想要去看，于是爸爸提议用如图所示的两个转盘（其中转盘A被等分成4个扇形，且4个扇形内依次标有数字：1，2，3，4；转盘B被等分成3个扇形，且3个扇形内依次标有数字：﹣1，﹣2，﹣3）做游戏来决定谁去．规则如下：同时转动两个转盘，转盘停止后，分别记下指针所指扇形内的数字，若所得的数字之和为0或1，则哥哥去，否则弟弟去．若指针恰好指向两个扇形的边界，则需重转一次，直到指针指向某一扇形内为止．（1）用列表法或画树状图法求哥哥去看电影的概率；（2）这个游戏规则对兄弟二人公平吗？为什么？【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，找到和为0或1的结果数，根据概率公式求解可得；（2）根据概率之和为1求得弟弟去看电影的概率，即可判断该游戏规则的公平性．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中和为0或1的有6种结果，∴哥哥去看电影的概率为=；（2）弟弟去看电影的概率为1﹣=，∵哥哥去看电影的概率=弟弟去看电影的概率，∴这个游戏规则对兄弟二人公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．（8分）如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E．求证：（1）CE是半圆O的切线；（2）BC2=AB•BE．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ABC=∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBD，推出OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；（2）连接AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵点C是的中点，∴=，∴∠ABC=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥BD，∵CE⊥BE，∴OC⊥CE，∴CE是半圆O的切线；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥BE，∴∠E=90°，∴∠E=∠ACB，∵∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBE，∴，∴BC2=AB•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（10分）如图，已知点A（﹣1，0）、B（4，0）是抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴的两个交点，点C是抛物线与y轴的交点，连接AC，抛物线的对称轴与x轴交于点M．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以点M、N、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）先求出AO，CO，BM，然后点N在在x轴上方的抛物线上的对称轴上分两种情况①当△AOC∽△BMN时，②当△AOC∽△NMB时，得到比例式求出点N的坐标，再利用对称性求出在x轴下方的物线线的对称轴上的点N．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，∴抛物线对称轴为x=，∴M（，0）；（2）∵抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4与y轴相交于点C，∴C（0，﹣4），OC=4，∵OA=1，OB=4，∴MB=，设x轴上方抛物线的对称轴上存在点N（，n），∴MN=n，①当△AOC∽△BMN时，∴=，∴n=10，∴N（，10），根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（，﹣10），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；②当△AOC∽△NMB时，，∴=，∴n=，∴N（，），∴根据对称性可知，在x轴下方的抛物线对称轴上N（，﹣），也能使得以点M，N，B为顶点的三角形与△AOC相似；综上所述，符合题意的点N（，10），（，﹣10），（，），（，﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，解本题的关键是分情况求出点N的坐标．26．（12分）问题探究：（1）如图1，点A是线段BC外一动点，若AB=a，BC=b，求线段AC长的最大值（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点A是线段BC外一动点，且AB=1，BC=4，分别以AB、AC为边作等边△ABD、等边△ACE，连接CD、BE．①求证：CD=BE；②求线段BE长的最大值；问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、B（5，0），点P、M是线段AB外的两个动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）利用三边关系AC≤AB+BC即可解决问题；（2）①根据SAS即可证明；②线段BE长的值最大值即为线段CD长的最大值，求出线段CD长的最大值即可；（3）将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，可知线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，由（1）的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB+AN的值，由此即可解决问题；【解答】解：（1）∵点A是线段BC外一动点，且AB=a，BC=b，则AC≤AB+BC，且当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，此时AC的长的最大值为：AB+BC=a+b．（2）①∵△ABC，△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE．②∵CD=BE，∴线段BE长的值最大值即为线段CD长的最大值，此时BE的最大值为：BD+BC=AB+BC=5．（3）连接BM．∵PB=PM，∠MPB=90°，∴可以将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∴线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，由（1）的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB+AN的值．∵A（2，0），B（5，0），∴OA=2，OB=5，AB=3，∴AN=AP=2，∴最大值为2+3；如图4中，作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=AN=，∴OE=OA﹣AE=2﹣，∴P（2﹣，），即线段AM的最大值为2+3，此时P的坐标为（2﹣，）．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。