• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。
0
对于x岁期望剩余寿命 e x ，可以证明：
0 t t px xt dt
d ( t px ) tdt 0 dt
t
pxt
0
0 t px dt
0
0 t pxdt ex
整值平均余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
(t 0)
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数
• 考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了 x岁 ，tqx实际是一个条件概率
t qx Pr[x X t x | X x] F (t x) F (x)
1 F(x) s(x) s(x t)
ex E[K (x)] kk px qxk k k｜qx
k 0
k 0
第二节
生命表的构造
人类死亡效力的规律
人类死亡效力的规律
• 人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构， 被称为“浴盆曲线”。
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bcx
s(x) exp{Ax B(cx 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0 • Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx
• nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数 • 二、x岁余寿的生存函数 • 三、死亡力 • 四、整值平均余寿与中值余寿
k T (x) k 1,k 0,1,L
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px k1 px k px qxk k qx
• 2．死力
•
（1）定义：达到x岁的人中，在一瞬间里
死亡的人所占的比率，记为μx：
x
s '( x) s(x)
参数模型的问题
• 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模 型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
• 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产 生很大的误差。
•
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，
而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命
的分布。
•
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命
的分布。
生命表基本函数
s(x)
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u qx ，以
概率的方式表示为：
t｜u qx Pr[t T (x) t u] tu qx t qx t px tu px t px u qxt
整值剩余寿命
• 定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X) k, • 概率函数
Pr(x X z) F(z) F(x) s(x) s(z)
• 概念解释：
• 1．生存函数s(x)
•
（1）定义：假设某一新生婴儿群体的
死亡年龄X的分布函数为F(x)，则s(x)=1－
F(x) 称 为 该 新 生 婴 儿 的 生 存 函 数 ， 即 ：
s(x)=1－F(x)
• =Pr(X>x)
1
f
(x) F(x)
[ln
s(x)]'
(1.4)
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) exp{ sds}
0
xt
t px exp{ sds}
x
• 含义：
x
lim
x0
s(x) s(x x) xgs( x)
P{x将在x x岁之前死亡}
lim
x0
x
x瞬间死亡的比率
死力
• 死亡效力与密度函数的关系
新生儿的生存函数
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。
F(x) Pr( X x)
(x 0)
f x F 'x,x 0
s(x)：生存函数，它是新ຫໍສະໝຸດ 儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。
s(x) 1 F(x) Pr( X x)
(x 0)
新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
第四章 生命表
第一节 生命表函数
• 人类的生存死亡是怎样一个存在规律， 在历史上不少学者进行探讨，其目的并不 是为了保险。
有关寿命分布的参数模型
• De Moivre模型(1729)
x
1
x
s(x) 1 x , 0 x
• Gompertze龚珀兹模型(1825)
x Bcx
s(x) exp{B(cx 1) / ln c} , B 0,c 1,x 0
x
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数
g(t)
s(x) s(x t) G(t) 1 t px s(x)
g(t)
d dt
G(t)
d dt
s(x) s(x t)
s(x)
s(x t)xt
s(x)
t
px
xt
死亡力下x岁期望剩余寿命
• =Pr{新生儿在 x 岁之后死亡}
• =Pr{新生儿在 x 岁时仍然活着}
x岁余寿的生存函数
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t qx Pr[T(x) t]
(t 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t px 1t qx Pr[T(x) t]
– 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
– 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。