正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ， 所以60C =o．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o，c =3b.求a c的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-=g g g 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b =【解析】026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=,例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<o o o o，又01803903060θθ<-<⇒<<o o o o o，故233045cos 22θθ<<⇒<<o o ， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+= sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A =………② 由①，②解得4b =。

10.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32, sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2sin sin sin ,B A C =故 23sin 4B =， 3sin B = 或 3sin B =（舍去），于是 B=3π 或 B=23π. 又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤ 所以 B =3π。

例11.在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。

【解析】（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，A BC C AB sin sin =，于是522sin sin ===BC A BCC AB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得ACAB BC AC AB A •-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55， 从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A1024sin2cos 4cos2sin )42sin(=-=-πππA A A 例12.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sinC=23sinB ，则A= 【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得：23c b =，所以由于余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-==222(3)cos 2b c b bc A bc +-+==232c bc bc -= 2(23)323223b b bb b-⨯=⨯32，所以A=30°. 例13．（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC= .【解析】由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，13sin A =，即1sin 2A =． 由a b <知，60AB <=o ，则30A =o ，18090C A B =--=o o ，sin sin901C ==o.例14.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC=_______.解析：设BD a =，则2DC a =，由已知条件有011sin 22sin 603333122ADC S AD DC ADC a a a ∆=⋅⋅∠=⨯⨯==-⇒=-，再由余弦定理分别得到226,24123AB AC ==-，再由余弦定理得1cos 2BAC ∠=，所以060BAC ∠=．例15．（2010年高考北京卷理科10）在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a = 。

【解】由正弦定理013sin sin120B =，解得1sin 2B =，又23C π∠=，所以6A π∠=，所以a = b = 1。

例16．在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-故 1cos 2A =-，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-31cos sin sin(60)22B B B =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。

例17．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC V 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C= -14。

（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC ，求b 及c 的长。

解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及0＜C ＜π 所以10（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C =，得 c=4 由cos2C=2cos 2C-1=14-，J 及0＜C ＜π得cosC=±64由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2±6b-12=0解得 6或6 所以 6 c=4 或6 c=4。