平面几何一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。
塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','CC BB AA 三线平行或共点,则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 所在直线上的点,则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形,则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD ,当且仅当A ,B ,C ,D 四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点,P 不同于B ,C ,则有AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP -BP •PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。
(到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴)欧拉定理 ΔABC 的外心O ,垂心H ,重心G 三点共线,且.21GH OG = 二、方法与例题1.同一法。
即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合。
例1 在ΔABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P ,Q 为ΔABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=100,∠PBQ=∠PCB=200,求证:A ,P ,Q 三点共线。
[证明] 设直线CP 交AQ 于P 1,直线BP 交AQ 于P 2,因为∠ACP=∠PCQ=100,所以CQ AC QP AP =1,①在ΔABP ,ΔBPQ ,ΔABC 中由正弦定理有222sin sin ABP AP B AP AB ∠=∠,②Q BP BQ QP 202sin 20sin ∠=,③.70sin 30sin 00AC AB =④ 由②,③,④得2211QP AP QP AP =。
又因为P 1,P 2同在线段AQ 上,所以P 1,P 2重合,又BP 与CP 仅有一个交点,所以P 1,P 2即为P ,所以A ,P ,Q 共线。
2.面积法。
例2 见图16-1,◇ABCD 中,E ,F 分别是CD ,BC 上的点,且BE=DF ,BE 交DF 于P ,求证:AP 为∠BPD 的平分线。
[证明] 设A 点到BE ,DF 距离分别为h 1,h 2,则,21,2121h DF S h BE S ADF ABE ⨯=⨯=∆∆ 又因为21=∆ABE S S ◇ABCD =S ΔADF ,又BE=DF 。
所以h 1=h 2,所以PA 为∠BPD 的平分线。
3.几何变换。
例3 (蝴蝶定理)见图16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为AB 中点,CD ,EF 为过M 的任意弦,CF ,DE 分别交AB 于P ,Q 。
求证:PM=MQ 。
[证明] 由题设OM ⊥AB 。
不妨设BD AF ≤。
作D 关于直线OM 的对称点'D 。
连结F D DD M D PD ',',',',则.'.'D M Q P M DDM M D ∠=∠=要证PM=MQ ,只需证MDQ M PD ∠=∠',又∠MDQ=∠PFM ,所以只需证F ,P ,M ,'D 共圆。
因为∠'PFD =1800-'MDD =1800-∠D MD '=1800-∠'PMD 。
(因为'DD ⊥OM 。
AB//'DD ) 所以F ,P ,M ,'D 四点共圆。
所以ΔM PD '≌ΔMDQ 。
所以MP=MQ 。
例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相似比为1995,而且每个三角形三个顶点同色。
[证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为1和1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为A ,B ,C ,D ,E ,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为A 1,B 1,C 1,则ΔABC 与ΔA 1B 1C 1都是顶点同色的三角形,且相似比为1995。
4.三角法。
例5 设AD ,BE 与CF 为ΔABC 的内角平分线,D ,E ,F 在ΔABC 的边上,如果∠EDF=900,求∠BAC 的所有可能的值。
[解] 见图16-3,记∠ADE=α,∠EDC=β, 由题设∠FDA=2π-α,∠BDF=2π-β, 由正弦定理:C DE CE A DE AE sin sin ,2sin sin ==βα, 得2sin sin sin sin A C CE AE ⋅=βα,又由角平分线定理有BC AB EC AE =,又A BC C AB sin sin =,所以A C A C sin sin 2sin sin sin sin =⋅βα, 化简得2cos 2sin sin A =αβ,同理2cos 2sin sin A ADF BDF =∠∠,即.2cos 2cos cos A =αβ 所以αβαβcos cos sin sin =,所以sin βcos α-cos βsin α=sin(β-α)=0. 又-π<β-α<π,所以β=α。
所以212cos =A ,所以A=32π。
5.向量法。
例6 设P 是ΔABC 所在平面上的一点,G 是ΔABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG.[证明] 因为+++=+++++=++3,又G 为ΔABC 重心,所以.0=++(事实上设AG 交BC 于E ,则+==2,所以0=++) 所以3=++,所以.||3||||||||=++≥++ 又因为,,不全共线,上式“=”不能成立,所以PA+PB+PC>3PG 。
6.解析法。
例7 H 是ΔABC 的垂心,P 是任意一点,HL ⊥PA ,交PA 于L ,交BC 于X ,HM ⊥PB ,交PB 于M ,交CA 于Y ,HN ⊥PC 交PC 于N ,交AB 于Z ,求证:X ,Y ,Z 三点共线。
[解] 以H 为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和y 轴,建立直角坐标系,用(x k ,y k )表示点k 对应的坐标,则直线PA 的斜率为A P A P x x y y --,直线HL 斜率为P A A P y y x x --,直线HL 的方程为x(x P -x A )+y(y P -y A )=0.又直线HA 的斜率为A A x y ,所以直线BC 的斜率为AA y x -,直线BC 的方程为xx A +yy A =x A xB +y A y B ,②又点C 在直线BC 上,所以x C x A +y C y A =x A x B +y A y B .同理可得x B x C +y B y C =x A x B +y A y B =x A x C +y A y C .又因为X 是BC 与HL 的交点,所以点X 坐标满足①式和②式,所以点X 坐标满足xx P +yy P =x A x B +y A y B .④同理点Y 坐标满足xx P +yy P =x B x C +y B y C .⑤点Z 坐标满足xx P +yy P =x C x A +y C y A . 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故X ,Y ,Z 三点共线。
7.四点共圆。
例8 见图16-5,直线l 与⊙O 相离,P 为l 上任意一点,PA ,PB 为圆的两条切线,A ,B 为切点,求证:直线AB 过定点。
[证明] 过O 作OC ⊥l 于C ,连结OA ,OB ,BC ,OP ,设OP 交AB 于M ,则OP ⊥AB ,又因为OA ⊥PA ,OB ⊥PB ,OC ⊥PC 。
所以A ,B ,C 都在以OP 为直径的圆上,即O ,A ,P ,C ,B 五点共圆。
AB 与OC 是此圆两条相交弦,设交点为Q ,又因为OP ⊥AB ,OC ⊥CP ,所以P ,M ,Q ,C 四点共圆,所以OM •OP=OQ •OC 。
由射影定理OA 2=OM •OP ,所以OA 2=OQ •OC ,所以OQ=OC OA 2(定值)。
所以Q 为定点,即直线AB 过定点。
三、习题精选1.⊙O 1和⊙O 2分别是ΔABC 的边AB ,AC 上的旁切圆,⊙O 1与CB ,CA 的延长线切于E ,G ,⊙O 2与BC ,BA 的延长线切于F ,H ,直线EG 与FH 交于点P ,求证:PA ⊥BC 。
2.设⊙O 的外切四边形ABCD 的对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,求证:E ,O ,F 三点共线。
3.已知两小圆⊙O 1与⊙O 2相外切且都与大圆⊙O 相内切,AB 是⊙O 1与⊙O 2的一条外公切线,A ,B 在⊙O 上,CD 是⊙O 1与⊙O 2的内公切线,⊙O 1与⊙O 2相切于点P ,且P ,C 在直线AB 的同一侧,求证:P 是ΔABC 的内心。