（振荡性）
对“容许性”条件的分析：
2. 为了“基小波” 能提供一个局部的时频 窗口，
我们还得要求满足： ˆ ( ) L2 t (t ) L2 ,
对“容许性”条件的分析：
3.
t b 用 b ,a (t ) a ( ),则 a W ( f )(b, a) f , b ,a
da ) 2 db a
1 c

－ －
[W ( f )(b, a)
ˆ的时域中心在 若 * ,时域半径为ˆ , 则(a 0)： ˆ b,a a 由 a
1 2 1 2 ^

e
it
t b ( )dt a a
1 2
t b ( ) a
ˆ (a ) aeib
ˆ b ,a可知 分析 ˆ b ,a的中心在
*
__________ ______

对所有的f , g L2成立，并且对于 f L2和f的连续点x R，有 1 f ( x) c
－

da [W ( f )(b, a ) b ,a ( x) 2 db a －

小波重构定理的证明：
左端＝

－ －
可用的工具：
利用Forier变换的时间展缩性： ^ 1 ˆ( ) x(at) x a a
连续小波变换的定义：
t b W ( f )(b, a) a f (t ) ( ) dt a 其中：f L , a, b R , a 0
2 1 2 __________
1 2
对小波变换时域窗口的分析：
若的时域中心在t * , 时域半径为 , 则：
b ,a的中心在b at*,半径为a ,
W ( f )(b, a )表征了信号f (t )在 [b at * a , b at * a ]的信息。
对小波变换频域窗口的分析：

2 －

c

ˆ ( ) g (t ) ddt e f
it _____
_____

2 －
c
ˆ ( )d ) g (t ) dt ( e f
it
小波重构定理的证明：

c
－
f (t ) g (t ) dt
_____
c f , g

*
a1
a1 a2
*
a2
b1 a1t *
b2 a2t *
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，它定义 了一个连续小波变换 W ( f )(b, a ), 则：

－

da [W ( f )(b, a ) W ( g )(b, a ) 2 db c f , g a －
a a W ( f )(b, a)的频域窗口为 [
, 半径为
ˆ
,
*
a

ˆ a
,,
*
a

ˆ a
]
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1.小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a有关。
2.时频窗口形状与参数 a的关系。 当a下降时：中心频率上升 ， 频域窗口变宽，时域窗 口变窄。 当a上升时：中心频率下降 ， 频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
小波重构定理的证明：
对 da [W ( f )(b, a) W ( g )(b, a) 2 db c f , g a － －
__________ ______
取g ( x)＝g（ t x)：
0

(Gabor 窗函数），
f ( x) lim f , g a
1 lim 0 c da [W ( f )(b, a) W ( g a )(b, a) 2 db a － －
__________ ______
小波重构定im( g , [W ( f )(b, a)
0

__________ ______ b ,a
连续小波变换
——定义与特性
引入连续小波变换的基本想法：



Gaobor变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化。 在实际应用中，窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分；宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析。 所以，在对信号进行时频局部化分析中， 我们需要一个自动随频率变化的时频窗 口。
f ,
b,a
g , b,a
__________ ____
da 2 db a
__________ ____ 1 da ˆ ˆ b,a g , b,a 2 db f , 2 a － －
小波重构定理的证明：
1 2 － －

应满足的条件：
1.时频局部化。即 ，ˆ 均有限。 2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d

2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
" 容许性”条件隐含着： ˆ（0）＝0 即： (t )dt 0

ˆ () a e f
__________ __ ib
ˆ (a) d( g (t )

_____
1 t b da ( )dt) 2 db a a a
________ _____ 1 t b ib 2 ˆ ˆ (a) g (t ) daddt ( e ( )db)(a f () 2 － － a

________ _____ 1 it 2 ˆ ˆ (a)a f ( ) ˆ (a) g (t ) daddt ae 2 － －


小波重构定理的证明：
_____ ˆ (a ) |2 1 | it ˆ ( da)e f ( ) g (t ) ddt 2 － － a