ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Digital Signal Processing
正则性
t au
小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分 析信号的p阶导数以上的成份 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正 则性条件高的小波函数
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其它特性 光滑性和连续性 :避免短时加窗截断时的非线性影响 紧支集性:时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最 好的局域化特性 线性相位性 :防止小波变换过程中产生相位失真 正交性 :变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩 具有解析表达式 :方便连续小波变换的计算
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第十一章
连续小波变换
短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌 理想状态
•既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析
•又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析
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11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性
分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标
(t ), t ~
[t * 2 , * ˆ 2 ]
分析窗的尺度伸缩平移 1 t a , ( )
a a
尺度伸缩平移窗函数的局域化指标
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Meyer小波
0 8 / 3 or 0 2 / 3 1/ 2 j / 2 32 2 4 / 3 8 / 3 1 exp e 3 ( 8 / 3 ) 2 ( 4 / 3 ) 2 ˆ ( ) j / 2 (t ) e 4 / 3 1/ 2 4 j / 2 2 / 3 4 / 3 1 exp e 3 ( 4 / 3 ) 2 ( 2 / 3 ) 2
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连续小波变换的频域分析
CWTx (a, ) 1 a


x(t ) * (
t
a
)dt
1
t x(t )* * ( ) a a
1 t ˆ ( ) IFT x FT * ( ) a a t e jt * t * FT ( ) ( ) dt a * (u)e j au du a * (a ) t au a a
CWTx (a, ) x(t ), a , (t ) 1 a



x(t ) *a (t )dt a 0, x(t ) L2


x(t ) (
t )dt a
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某尺度下CWT的计算过程
某尺度和某位移下的CWT值等于求信号 与小波函数的尺度伸缩平移的相关
k 0

1 a
[ y( n 1) y( n)], y( n) x( n)* I ' a ( n)
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CWT卷积法计算过程
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由 I [kTs ] 计算 I [kTs ]
a
Ts1小波采样频率 (nTs1 ), n 0,1,..., N
例， (t ) (1 t 2 )et
2
/2
t 2 ( a , (t ) 1 ( ) e a
t 2 ) /2 a
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尺度调节对时频相平面的影响
调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距
Matlab工具箱中常用小波及其特性比较
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11．3连续小波变换的性质
线性性
y(t ) x1 (t ) x2 (t )
WTy (a, ) WTx1 (a, ) WTx2 (a, )
时移不变性
x(t t0 )
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1
ˆ ( ) j
sin( )e 4
4

j

2
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墨西哥草帽（Mexican Hat）或Marr小波 2 2 2 1/ 4 2 2 / 2 ˆ ( ) (t ) 1/ 4 (1 t 2 )et / 2 e 3 3
时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
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小波变换的发展
•地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念
•数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
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11．4连续小波变换的计算机实现
CWT变换的数值卷积实现
1
*
x(kTs ), k 0,1,...,
t 1 ( k 1)Ts * t CWTx (a, ) x ( t ) ( ) dt x ( kT ) ( )dt s a a a a k 0 kTs 1
nTs

( k 1)Ts

*(
( k 1)Ts t )dt a* (t nTs )dt I a [(k 1 n)Ts ] I a [((n 1) k )] I ' a [(n 1) k ] a
CWTx (a, ) x(kTs ) I ' a [(n 1) k ] I ' a [ n k]
ˆ( ) * (a ) CWTx (a, ) a IFT x
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频域观察CWT的物理意义
若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等 效提取信号在不同频带的成份
尺度参数a与模拟角频率参数等效

垐 * (a ) 频域局域化指标为 [ , ] a 2a a 2a
* a ˆ * [at , ] 2 a 2a
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尺度伸缩平移窗函数的特性
尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大
ˆa , 常数
分析窗的时间——带宽乘积等于常数
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常见小波函数
Morlet小波
(t ) e e j t
0

t2 T
0 5
T 4
ˆ ( ) T e ( 0 ) 2

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1 Haar小波 (t ) 1
*
*
•尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 •尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份
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典型小波函数不同尺度下的频率特性
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连续小波变换的逆变换
Moyal定理
x 1 (t ), x2 (t ) L( R 2 )
尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
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11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
2 信号 x(t ) L ( R)
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 (t ) 小波函数尺度伸缩与平移 a, (t ) CWT变换
连续小波变换的逆变换
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) (t u )
x(t ) 1 c


0
da t WT ( a , ) ( )d x a a 2
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小波函数的特性
振荡性
c ˆ ( ) d
2
ˆ ( )
0
(t )dt 0


正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1 a

M k t k *(t )dt




x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t ) k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x ( k ) ( ) t (t ) k * ( )dt k ! a a k 0
c
ˆ ( ) d
2
c x1 (t ), x2 (t ) WTx1 (a, ), WTx2 (a, )
0
da x 1 (t ), a , (t ) a , (t ), x 2 (t ) d 2 a
WTx (t t0 ) (a, ) WTx (a, t0 )
尺度伸缩性
x(a0t )
WTx ( a0t ) (a, ) WTx (a0 a, a0 )