受弯矩M作用下完全积分、线性单元的变形
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为清楚起见，画出了通过积分点的虚线。显然，上部虚线的长度增加，说明1方向的 应力是拉伸的。类似地，下部虚线的长度缩短，说明是压缩的。竖直方向虚线的长 度没有改变（假设位移是很小的）；所有这些都与受纯弯曲的小块材料应力的预期 状态是一致的。但是，在每一个积分点处，竖直线与水平线之间夹角开始时为90度， 变形后却改变了，说明这些点上的剪应力不为零。显然，这是不正确的：在纯弯曲 时，这一小块材料中的剪应力应该为零。
• 用于积分这些变量的数值算法将影响单元的行为。 • ABAQUS包含“全”积分和“减缩”积分单元。
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完全积分
所谓“完全积分”是指当单元具有规则形状时，所用的Gauss积分点的数目足以 对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。对六面体和四边形单元而言，所谓 “规则形状”是指单元的边是直线并且边与边相交成直角，在任何边中的节点都 位于边的中点上。完全积分的线性单元在每一个方向上采用两个积分点。因此， 三维单元C3D8在单元中采用了222个积分点。完全积分的二次单元（仅存在于 ABAQUS/Standard）在每一个方向上采用3个积分点。对于二维四边形单元，完 全积分的积分点位置如图所示。
第二讲 ABAQUS中的实体单元
王慎平 北京怡格明思工程技术有限公司
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ABAQUS中的单元
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ABAQUS中的单元
ABAQUS单元库中大量的单元为不同几何体和结构建模提供了非常大 的灵活性。
线性单元 （如：CPS4R）
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二次单元 （如：CPS8R）
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线性的减缩积分单元由于存在着来自本身的所谓沙漏（hourglassing）数值 问题而过于柔软。为了说明这个问题，再次考虑用单一减缩单元模拟受纯弯 曲载荷的一小块材料 ：
• 用于描述单元行为的数学公式是用于单元分类的另一种方法。 • 不同单元公式的例子：
平面应变 平面应力 杂交单元 非协调元 小应变壳 有限应变壳 厚壳 薄壳
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ABAQUS中的单元
积分点
• 在单元之内，刚度和单元质量在采样点，所谓的“积分点”，进行数 值计算。
线性单元 （如：CPS4）
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二次单元 （如：CPS8）
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90o
对于线性完全积分单元，在厚度方向的单元数目并不影响计算结果。误差是由于剪 力自锁（shear locking）引起的，这是存在于所有完全积分、一阶实体单元中的问 题。
壳单元
梁单元
薄膜单元
无限单元
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特殊单元，如弹簧、 阻尼器和质量单元
桁架单元
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ABAQUS中的单元
节点个数 (插值)
• 节点的个数决定了单元的插 值方式。
• ABAQUS包含一阶和二阶插 值方式的单元。
一次插值
二次插值
受弯矩M的减缩积分线性单元的变形
单元中虚线的长度没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在 单元单个积分点上的所有应力分量均为零。由于单元变形没有产生应变 能，这种变形的弯曲模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没有 刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗划网格中，这种零能量 模式会通过网格扩展，从而产生无意义的结果。
• 与“经典”的硬接触相比，在单元角点和中点处，一致 压力下面的接触力存在明显的不同。
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修正的 二阶三角形/四面体单元(C3D10M, 等等)减轻了其它三角形/ 四面体单元的问题。 • 好的收敛率—与二阶四边形/六面体单元的收敛率相近。 • 最小化剪切锁闭和体积锁闭。 – 利用杂交公式(C3D10MH)，可以用于模拟不可压或几乎不 可压材料。 • 在有限变形问题中，这些单元表现强劲。 • 一致的接触压力可以使这些单元精确的模拟接触问题。
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一次插值
全积分
减缩积分
二次插值
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• 单元命名约定：例子
B21: Beam, 2-D, 1st-order interpolation
剪力自锁引起单元在弯曲时过于刚硬，对此解释如下。考虑受纯弯曲结构中的一 小块材料，如图4-4所示，材料产生弯曲，变形前平行于水平轴的直线成为常曲 率的曲线，而沿厚度方向的直线仍保持为直线，水平线与竖直线之间的夹角保持 为9 0 o 。
受弯矩M作用下材料的变形 线性单元的边不能弯曲；所以，如果应用单一单元来模拟这一小块材料， 其变形后的形状如图所示。
受弯矩M作用下完全积分、二次单元的变形
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只有当确信载荷只会在模型中产生很小的弯曲时，才可以采用完全 积分的线性单元。
如果对载荷产生的变形类型有所怀疑，则应采用不同类型的单元。
在复杂应力状态下，完全积分的二次单元也有可能发生自锁；因此， 如果在模型中应用这类单元，应细心地检查计算结果。
CAX8R: Continuum, AXisymmetric, 8-node, Reduced integration
DC3D4: Diffusion (heat transfer), Continuum, 3-D, 4-node
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S8RT: Shell, 8-node, Reduced integration, Temperature
然而，对于模拟局部应力集中的区域，应用这类单元是非常有用的！
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减缩积分
只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分方法； 而所有的楔形体、四面体和三角形实体单元采用完全积分，尽管它们与减缩积分的 六面体或四边形单元可以在同一网格中使用。 减缩积分单元比完全积分单元在每个方向少用一个积分点。减缩积分的线性单元只 在单元的中心有一个积分点。（实际上，在ABAQUS中这些一阶单元采用了更精确 的均匀应变公式，即计算了单元应变分量的平均值。对于所讨论的这种区别并不重 要。）对于减缩积分的四边形单元，积分点的位置如图所示。
CPE8PH: Continuum, Plane strain, 8-node, Pore pressure, Hybrid
DC1D2E: Diffusion (heat transfer), Continuum, 1-D, 2-node, Electrical
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产生这种伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲，它的出现意味着应变能正在产 生剪切变形，而不是产生所希望的弯曲变形，因此总的挠度变小：即单元是过于的 刚硬。
剪力自锁仅影响受弯曲载荷的完全积分的线性单元的行为。在受轴向或剪切载荷时， 这些单元的功能表现很好。而二次单元的边界可以弯曲，故它没有剪力自锁的问题。 二次单元预测的自由端位移接近于理论解答。
在可能的条件下，尽量使用四边形/ 六面体单元。
• 它们以最小的费用给出最好的 结果。
• 在为复杂的几何体建模时，几 乎没有任何的选择，必须使用 三角形和四面体单元。
四面体单元模拟带有平台的涡轮叶片
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一阶三角形/四面体单元(CPE3, CPS3, CAX3, C3D4, C3D6)是质量 较差的单元；它们有以下的问题：
可以通过以下的特征为单元分类： •族 • 节点号 • 自由度 • 公式 • 积分点
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族
• 有限元族是一种广泛的 分类方法。
• 同族的单元共享许多基 本特征。
• 在同一族单元中又有许 多变异。
连续体(实体单元) 刚体单元
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网格生成
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• 四边形/六面体 vs. 三角形/四面体单元
在生成网格时，选择使用四边形/六 面体单元或三角形/四面体单元是 非常重要的。
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ABAQUS在一阶减缩积分单元中引入了一个小量的人工“沙漏刚度”以限制沙漏 模式的扩展。在模型中应用的单元越多，这种刚度对沙漏模式的限制越有效，这说 明只要合理地采用细划的网格，线性减缩积分单元可以给出可接受的结果。对多数 问题而言，采用线性减缩积分单元的细划网格所产生的误差（见表4-2）是在一个 可接受的范围之内。结果建议当采用这类单元模拟承受弯曲载荷的任何结构时，沿 厚度方向上至少应采用四个单元。当沿梁的厚度方向采用单一线性减缩积分单元时， 所有的积分点都位于中性轴上，该模型是不能抵抗弯曲载荷的。（这种情况在表42中用*标出。） 线性减缩积分单元能够很好地承受扭曲变形；因此，在任何扭曲变形很大的模拟中 可以采用网格细划的这类单元。 在ABAQUS/Standard中，二次减缩积分单元也有沙漏模式。然而，在正常的网格 中这种模式几乎不能扩展，并且在网格足够加密时不会产生什么问题。因此，除了 包含大应变的大位移模拟和某些类型的接触分析之外，这些单元一般是最普遍的应 力/位移模拟的最佳选择。