解由f(x)和 的麦克劳林公式
比较 的系数得
故
五、练习题
1、应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差.
(1) (2) sin18°
（答：(1) ；(2) 0.3090，误差为 ）
2、设函数f(x)在(－1, 1)内具有二阶连续导数，且 ，试证：对于任意非零 ，存在唯一的 ，使 成立，且 .
（提示：拉格朗日中值定理、泰勒公式）
计算 的近似值，所产生的误差小于0.01；并求 的近似值，使误差小于0.01.
解因为公式 右边是 的三阶麦克劳林公式，故误差
又已知 ，从而 ，故
误差
例4求函数 按(x－4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式.
解由于 ，故
因此
其中 介于x与4之间.
例5利用泰勒公式求极限
解
例6求函数 在x= 0处的n阶导数 (n≥3)
例1用泰勒公式，证明：当x>1时， .
证设 ，则f(x)当x>1时有二阶导数，且 .
将f(x)点，即 .
从而
例2设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，若 ，则在(a,b)内至少有一点 ，使
证由泰勒公式，得
令 ，代入得
相减，得
设
则
例3验证当 时，按公式
3、求函数 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.
（答： ）
4、利用泰勒公式求极限
（答： ）
5、求函数 的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式
（答： ）