第11题ABCEF DG 2011相似三角形判定和性质一、选择题1. （荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交干E ， ∠CPD=∠A=∠B ，BC 交PD 于E ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2. （无锡）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ：OC=0B ：OD ，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．①与②相似 B ．①与③相似 C ．①与④相似 D ．②与③相似3. （山西）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形．若DE ＝2㎝，则AC 的长为（ ） A ．33cm B ．4cm C ．23cm D ．25cm4. （陕西）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对5. （乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ ）A 、21B 、32C 、43 D 、16.（江津）已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ） A 、都相似 B 、都不相似 C 、只有（1）相似 D 、只有（2）相似 7. （沈阳）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为（ ） A 、9 B 、12 C 、15 D 、188. （泰安）如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线与点E ， 则下列结论错误的是（ ）A ．ABDFEA ED =B ．FB EF BC DE = C ．BEBFDE BC =D ．AEBCBE BF =9. （泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2， 则S 1＋S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．1910. （威海）在▱ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF=（ ）A 、1：2B 、1：3C 、2：3D 、2：511. （达州）如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC =∠DCE ，则下列结论不正确的是（ ） A 、s △AFD =2s △EFB B 、BF =12DF C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB =∠ADC 12. （北京）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD =1，BC =3， 则CO AO 的值为（ ） A ．21B ．31 C ．41D ．9113. （厦门）如图，铁道口的栏杆短臂OA 长1m ，长臂OB 长8m ．当短臂外端A 下降0.5m 时，长臂外端B 升高（ ） A 、2m B 、4m C 、4.5m D 、8m14. （漳州）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为 A 、0.6m B 、1.2m C 、1.3m D 、1.4m （ ） 15. （天水）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为A E ，再将△A E D 沿D E 向右翻折，A E 与BC 的交点为F ，则C F 的长为（ ）A 、6B 、4C 、2D 、116. （遵义）如图，在直角三角形ABC 中（∠C ＝900）,放置边长分别3, 4, x 的三个正方形，则x 的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 1217. （河北）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在 AB ．AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．418. （鸡西）如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB =AC ，AD 交BC 于点E ，AE =3，ED =4，则AB 的长为 （ ）A .3B .23 C.21 D .3519. （湖州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC =OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是（ ） A.21B.1C.2D.320. （义乌）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ．下列结论中：①CE ＝BD ； ②△ADC 是等腰直角三角形； ③∠ADB ＝∠AEB ； ④CD •AE ＝EF •CG ；一定正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1. （宁夏）如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，CD ：DA=2：3，DE=4，则AB 的长为 .2. （日照）正方形ABCD 的边长为4， M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ． 当BM= 时，四边形ABCN 的面积最大．3. （凉山）已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是 . 4. （青海）如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是 mm ． 5.（河池）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是BC 边上的动点，设BP=x ，若能在AC 边上找到一点Q ，使∠BQP=90°，则x 的取值范围是 ．6.（台州）点D ．E 分别在等边△ABC 的边AB ．BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1．EB 1分别交边AC 于点F ．G ．若∠ADF =80°，则∠CGE =．7.（清远）如图，在□ABCD 中，点E 是CD 中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若△ECF 的面积为1．则四边形ABCE 的面积为 ．8.（丹东）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ， 那么S △DPQ ：S △ABC = ．9. (牡丹江）在△ABC 中，AB =6，AC =9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD =2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为 ．10. (张家界）在△ABC 中，AB=8，AC=6，在△DEF 中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF 相似， 则需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 三、解答题1. （南充）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． （1）求证：△ABF ∽△DFE （2）若sin ∠DFE=13，求tan ∠EBC 的值．2. （遂宁）已知AB 是⊙O 的直径，弦AC 平分∠BAD ， AD ⊥CD 于D ，BE ⊥CD 于E ． 求证：（1）CD 是⊙O 的切线；（2）CD 2=AD•BE ． 3．（鄂州）在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线， F 为弧AD 上一点，BC=AF ，延长DF 与BA 的延长线交于E ． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证AC •AF=DF •FE第3题图BAF DC M4. （郴州）如图，Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=10cm ，点Q 在线段BC 上从B 向C 运动，点P 在线段BA 上从B 向A 运动．Q 、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点Q 到达点C 时，两点都停止运动．作PM ⊥PQ 交CA 于点M ，过点P 分别作BC 、CA 的垂线，垂足分别为E 、F ． （1）求证：△PQE ∽△PMF ；（2）当点P 、Q 运动时，请猜想线段PM 与MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP=x ，△PEM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式， 当x 为何值时，y 有最大值，并将这个值求出来．5. （眉山）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于F ．（1）求证：∠DCP=∠DAP ；（2）若AB=2，DP ：PB=1：2，且PA ⊥BF ，求对角线BD 的长．6. (襄阳)如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ． （1）求证：∠ADP ＝∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当ABAP的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由．7.（怀化）如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC =40cm ，AD =30cm ． 从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：AM AD ＝HGBC； （2）求这个矩形EFGH 的周长．8.（益阳）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形， 四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1． （1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比 （不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论； （4）求线段BD 的长．9. (枣庄) 如图，在平面直角坐标系中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.ＡＤＣＢ Ｏ xy第9题图2011相似三角形判定和性质 参考答案一、选择题 BBDCB AACBA ABBDC CBCCD 二、填空题 10 258或118 48 3≤x≤4 80° 3 1：24 6或12 三、解答题1. （南充）22． 2. （四川遂宁） 3．（湖北鄂州） 4.（郴州）证明：（1）∵PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，∠C=90°，∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°， 即∠EPQ+∠QPF=90°，又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，∴∠EPQ=∠FPM ，∴△PQE ∽△PMF ； （2）相等．∵PB=BQ ，∠B=60°，∴△BPQ 为等边三角形，∴∠BQP=60°，∵△PQE ∽△PMF ，∴∠PMF=∠BQP=60°， 又∠A+∠APM=∠PMF ，∴∠APM=∠A=30°，∴PM=MA ； （3）AB===20，BP=x ，则AP=20﹣x ，PE=xcos30°=x ，PF=（20﹣x ）•，S △PEM =PE×PF ，∴y=•x•=（20x ﹣x 2）=﹣（x ﹣10）2+（0≤x≤10）．∴当x=10时，函数的最大值为．5.（四川眉山）（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=AD ，∠CDP=∠ADP ， ∴△CDP ≌△ADP ，∴∠DCP=∠DAP ；（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ∥BA ，CD=BA ，∴△CPD ∽△FPB ，∴PF CP BF CD PB DP ===21，∴CD=21BF ，CP=21PF ，∴A 为BF 的中点， 又∵PA ⊥BF ，∴PB=PF ，由（1）可知，PA=CP ，∴PA=21PB ，在Rt △PAB 中，222)21(2PB PB +=解得PB=334，则PD=332，∴BD=PB+PD=23．6. (襄阳)证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形．∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∵∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠EPB ＝90°，∴∠ADP ＝∠EPB ；（2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90°， 又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△P AD ≌△EGP ，∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ，∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°；（3）当AB AP ＝21时， △PFD ∽△BFP ， 7.（湖南怀化）（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH ，∴∠AHG =∠ABC ， 又∵∠HAG =∠BAC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴HG BC ＝AMAD； （2）解：由（1）HG BC ＝AMAD得：设HE =x ，则HG =2x ，AM =AD ﹣DM =AD ﹣HE =30﹣x ， 可得3030x -＝240x ，解得，x =12，2x =24 所以矩形EFGH 的周长为：2×（12+24）=72cm ． 8.（湖南益阳）（1）证明△ABE ≌△CBD ． （2）存在．答案不唯一．如△ABN ∽△CDN ． （3）由（2）得AN CN =AB CD=2，∴CN =12AN =13AC ，同理AM =13AC ，∴AM =MN =NC ．（4）作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，∵∠BCD =120°，∴∠DCF =60°． 在Rt △CDF 中，∴∠CDF =30°，∴CF =12CD =12，∴DF =22CD CF += 2211()2+=3； 在Rt △BDF 中，∵BF =BC +CF =2+12=52，DF =3， ∴BD =22BF DF +=2253()()22+=7． 9.（1） 1h k =-，=-4. （2） 直角三角形．（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点． 由（2）知，A O C △为等腰直角三角形，45B A C ∠=︒，1832A C ==．由A O M A B C △∽△， 得AO AMAB AC =．即333292432A M ⨯===，.过M 点作M G AB ⊥于点G，29248192164A G M G ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴====，93344O G A O A G =-=-=. 又点M 在第三象限，所以39--44M （，）.ＡＤＣＢ Ｏ x y M FE G。