平行线的性质知识点总结、例题解析
知识点1【平行线的性质】
（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等．
∵AB∥CD
∴∠2=∠3
（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
∵AB∥CD
∴∠2+∠4=180°
（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD
∴∠1=∠2
【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°
【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）
A、70
B、80
C、90
D、110
【答案】A
【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______
【答案】30°
【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______
【答案】35°
【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°
【答案】50 ，50 ；
【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________
【答案】10°
【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，
∴∠BAE=∠DCF．
【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
【答案】解：∵AB∥CD，∠B=40°
∴∠BCE=180°-∠B=180°-40°=140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN=70°，
∵CM⊥CN，
∴∠BCM=20°．
知识点2【判定与性质的区别及综合应用】
平行线的“判定”和“性质”有什么不同
⚠️平行线的判定：已知角的关系，推出平行的关系。
（推平行，用判定）
⚠️平行线的性质：已知平行关系，推导出角的关系。
（知平行，用性质）
【例题9】如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数。
【答案】解：∵∠1=∠2，∠2=∠EHD，
∴∠1=∠EHD，
∴AB∥CD；
∴∠B+∠D=180°，
∵∠D=50°，
∴∠B=180°﹣50°=130°．
【例题10】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E。
求证:AD∥BC
【答案】解：∵ AB//CD
∴∠BAE =∠CFE
又AE 平分∠BAD
∴∠BAE =∠EAD
∴∠CFE =∠EAD
又∵∠CFE= ∠E
∴∠EAD= ∠E
∴AD//BC
知识点3【平行线中的拐点问题】
1、平行线中常见的“拐点”模型
①点在两平行线之间（燕尾型、铅笔型）
②点在两平行线之外（锄头型、牛角型）
以上模型中的三个角（∠B、∠D、∠E）都有特殊的数量关系。
2、解题方法：做辅助线
辅助线：过拐点做已知直线的平行线，即逢“拐点”作平行。
一般而言，有几个“拐点”就需要做几条平行线。
①作辅助线（过拐点处作平行线）
②找特殊角（找相等的角或互补的角）。
③解决问题（找到数量关系）
⚠️在拐点处作平行线，可使问题转化，从而构造出一些相等的角或互补的角，使已知与未知
一目了然，达到解题的目的。
类型一：含一个拐点的平行线问题
【例题11】如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3=________
【答案】100°
【例题12】如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点AB分别在直线l1、l2上，若∠1=65°，则∠2的度数是__________
【答案】25°
【例题13】如图所示，l1∥l2，AB⊥l1，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（）
A、60°
B、50°
C、40°
D、30°
【答案】C（过B点做l1的平行线）
【例题14】如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）
A、20°
B、30°
C、 40° D。
、70°
【答案】B解析:如图，过C向右作CM∥AB
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CM
∵∠ABC=70°，∠CDE=140°
∴∠BCM=70°，∠DCM=180°-140°=40°
∴∠BCD=∠BCM-∠DCM=70°-40°=30°
【例题15】探究题
（1）小明遇到了下面的问题:如图AB∥CD，点P在AB，CD内部，探究∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并证明。
（2）如图2，若AC∥BD。
点P在AB、CD外部∠APC，∠A，∠C，的数量关系是否发生变化?请证明。
【答案】（1）∠APC=∠A+∠C
（2）变化，∠APC=∠C-∠A
类型二：含多个拐点的平行线问题
【例题16】如下图，直线m∥n，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=__________
【答案】30°
【例题17】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=_________
【答案】如图，∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=40°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．
知识点4【命题、定理、证明】
1、命题：判断一件事情的语句叫做命题。
（1）一句话，只要对一件事情做出了判断，无论对错，都叫做命题。
如:相等的角是对顶角。
⚠️如果一个句子没有对某一件事情作出任何判那么它就不是命题。
如:画线段AB=CD。
⚠️命题是陈述句。
问句和感叹句都不是命题
（2）命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
通常命题可写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论。
（3）如果题设成立，结论一定成立，这样的命题是正确的命题，叫做真命题；
如果题设成立，结论不一定成立，这样的命题是错误的命题，叫做假命题。
2、定理：真命题的一种，通常由公理（基本事实）推导得出。
我们学过的定理：补角的性质:同角或等角的补角相等；余角的性质:同角或等角的余角
相等；对顶角的性质：对顶角相等；垂线的性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；平行线的判定定理；平行线的性质定理。
3、证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明。
（假命题只需要举一个反例即可说明）
【例题18】判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它的题设和结论.
（1）两直线平行，同旁内角互补。
（2）等角的补角相等。
（3）同位角相等。
（4）相等的角是对顶角。
（5）画一个60°的角.
【答案】
（1）如果两直线平行，那么同旁内角互补；题设：两直线平行，结论：同旁内角互补。
（2）两种改法①如果两个角相等，那么这两个角的补角相等。
题设：两个角相等，结论：这两个角的补角相等；②如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等。
题设：两个角是等角的补角，结论：这两个角相等。
（3）如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
题设：两个角是同位角，结论：这两个角相等。
（4）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
题设：两个角相等，结论：这两个角是对顶角。
【例题19】下列句子哪些是命题？如果是，指出是真命题还是假命题。
（1）猪有四只脚。
（2）内错角相等。
（3）画一条直线。
（4）四边形是正方形。
（5）你吃饭了吗？（6）相等的角是对顶角。
（7）对顶角相等。
【答案】命题：1、2、4、6、7，真命题：1、7，假命题：2、4、6.。