.圆与扇形公式与割补容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念.及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且.所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的．我们知道 .圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用π表示．另外 .一般把直径记作d.半径记作 r.如图1所示．rd图 1所以 .圆的周长 C d 2r .圆的面积S r 2．如图 3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分.所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．n°r图 3扇形的圆心角为n°时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的n．360所以 .扇形弧长 =n2 r .面积=nr 2．360360我们先来熟悉一下这些公式．.1.半径是 2 的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是 5 的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是 10π的圆的面积是多少？4.面积是 9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题 1.已知扇形的圆心角为120 °.半径为 2.则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）例题 2. 已知扇形面积为18.84 平方厘米 .圆心角为 60°.则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为 0.785 厘米 .圆心角为 45o .这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是 31.4 平方厘米 ,它所在圆的面积是 157 平方厘米 ,这个扇形的圆心角是多少？.例题 3.如图 .直角三角形ABC 的面积是45.分别以B.C 为圆心.3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角 A 是多少度？（π取 3.14）ABC二、圆中方 .方中圆例题 4.如图 .左下图和右下图中的正方形边长都是 2.那么大圆、小圆的面积分别为、．随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是 4.里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题 5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（ 2）23随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（ 2）47例题 6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（2）2 2例题 7.已知图中正方形的边长为 2.分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心.那么图中阴影部分的面积为．（答案用表示）例题 8.根据图中所给数值 .求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取 3.14 ）4随堂练习：1. 根据下图中给出的数值.求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）6例题 9.求图中阴影部分的面积．（圆周率取 3.14）45 o45 o20厘米思考题图中的 4 个圆的圆心是正方形的4个顶点 .它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是 1 厘米 .那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？.作业：1. 半径为 4 厘米的圆的周长是厘米.面积是平方厘米；2. 半径为 4 厘米 .圆心角为 90 的扇形周长是厘米.面积是平方厘米．（取3.14）3.家里来客人了 .淘气到超市买了 4 瓶啤酒 .售货员阿姨将 4 瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示） .捆 4 圈至少要用绳子厘米．（取 3.14.接头处忽略不计）7 厘米O4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按 3.14 计算）：（ 1 ）（2）11 110105. 下列图形中的正方形的边长为 2.则下图中各个阴影部分面积的大小分别为、．（取3.14）6. 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料.从中裁出了7 个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？O.圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程. 并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、重叠问题例题 1.下图中甲区域比乙区域的面积大57 平方厘米 .且半圆的半径是10 厘米 .那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取 3.14）乙甲例题 2.下图中有一个等腰直角三角形ABC.一个以 AB 为直径的半圆.和一个以BC 为半径的扇形．已知AB BC 10厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π）取 3.14AEDC B随堂练习1. 如图 17-13. 以AB为直径做半圆 .三角形ABC是直角三角形 .阴影部分①比阴影部分②的面积小28 平方厘米 .AB长 40 厘米．求BC的长度．（取 3.14．）C②①.例题 3.如图 .直角三角形的两条直角边分别为 3 和 5.分别以三条边做了 3 个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上） .那么阴影部分的面积为______．4 35例题 4.图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆 .AB是直径．如图 2 所示 .让A点不动 .把整个半圆逆时针转60°.此时B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取 3.14）C图 160A B图2二、动态扫面积问题例题 5.如图 .正方形ABCD边长为 1 厘米 .依次以A、B、C、D为圆心 .以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形 .那么阴影部分的面积为平方厘米．（取3.14）EA D HF CBG例题 6.如图所示 .以等边三角形的B、 C、 A 三点分别为圆心.分别以AB、CD、AE为半径画弧 .这样形成的曲线ADEF被称为正三角形 ABC 的渐开线.如果正三角形 ABC 的边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘米 .图中I、II、 III 三部分的面积之和是多少平方厘米？AIIIIC DBIIE三、运动圆扫面积例题 7.图中正方形的边长是 4 厘米 .而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 .其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是 10 厘米 .宽是 4 厘米 .而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 .其扫过的面积有多大？（π取 3.14）例题 8.图中等边三角形的边长是 3 厘米 .而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示 .一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处.四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越.小狗身长忽略不计.π取3）狗作业：1. 图 17-14由一个长方形与两个90 角的扇形构成.其中阴影部分的面积是平方厘米．（取3.14 ．）25图17-142. 图中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形 .那么两个阴影部分的面积相差为．（π取3.14 ）3. 如图 .直角三角形的两条直角边长分别是10cm 和 6 .分别以直角边为直径作出两个半圆.这两个cm半圆的交点恰好落在斜边上.那么阴影部分的面积是_______cm2．（取 3.14 ）（ 17 30）6cm10cm4. 图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆 .AB是直径．如图 2 所示 .让A点不动 .把整个半圆逆时针转60°.此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是平方厘米（π取 3.14）C C图 140A B图25. 图中正方形的边长是 6 厘米 .而圆环的半径是 1 厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 .其扫过的面积有 ______．（π取 3.14）6.图中等边三角形的边长是 5 厘米 .圆形的半径是 1 厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时 .扫过的面积有．（π取3.14）几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数.特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题 1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状.其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（ 3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边）.剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有个三角形；例题 2.如图 .它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“”的各种大小的正三角形一共有．例题 3.如图 .AB.CD.EF.MN互相平行 .则图中三角形个数是．A BDE FM N例题 4.图中有多少个正方形？二、与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数.特别是对于矩形和四边形的计数问题例题 5.如图 .线段AB.BC.CD.DE的长度都是 3 厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？3 厘米 3 厘米 3 厘米 3 厘米A B C D E随堂练习1.求图中一共有多少条线段．.例题 6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1. 如图 .四条边长度都相等的四边形称为菱形．用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数 . 图中共有多少个菱形？例题 7.右图是一个长为9.宽为 4 的长方形网格 .每一个小格都是一个正方形.那么：1）从中可以数出个矩形．2）从中可以数出个正方形．3）从中可以数出包含个.正方形有个．随堂练习（ 1）图中包含★的长方形有个．包含?的正方形又有个．（ 2）图中同时包含? 和★的长方形有个．★?三、与容斥原理有关的几何计数例题 8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有个矩形思考题用16 个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 4 的大等边三角形 .那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有个三角形．【分析与解】按边长分类数.图中共有 9 3 1 13 个三角形；平行四边形共有 3 3 3 2 15 个．3. 在图中 .包含※的长方形共有个．※4. 图中有个矩形.个正方形．【分析与解】图中共有7 1 8 个正方形 .19 个长方形．这道题适合按大小分类数．5. 图中有三角形个.梯形个．AB C【分析与解】三角形有 3 1 2 3 18 个.梯形有 1 2 1 2 3 18 个．6. 图中有个正方形 . 个长方形．【分析与解】答案是 38.144．长方形有 1 2 3 1 2 3 4 52 1 2 3 1 2 3 144 个 .正方形有 3 5 2 4 1 3 2 9 4 1 38个（这里给出正方形的求法比较巧妙.如果不合适 .请按正方形的边长分类枚举）．.行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题.行程问题主要有三组共9 个基本公式：（1）路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度；（2）相遇路程速度和时间；速度和相遇路程时间；时间相遇路程速度和；（3）追及路程速度差时间；速度差追及路程时间；时间追及路程速度差．要会灵活运用公式.通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时 .我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时.时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时.速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时.时间的倍数关系等于速度的倍数关系.但注意时间长的速度慢.时间短的速度快．例题 1.（）甲、乙两地间的路程是600 千米 .上午 8 点客车以平均每小时60 千米的速度从甲地开往乙地 .货车以平均每小时50 千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇.货车必须在上午几点出发？例题 2.（）某学校组织学生去春游.以 2 米 /秒的速度前进.一名学生以 4 米 / 秒的速度从队尾跑到队头 .再回到队尾 .共用 6 分钟 .那么队伍的总长为多少米？例题 3. A 城在一条河的上游.B城在这条河的下游．A、 B 两城的水路距离为396 千米．一艘在静水中速度为每小时12 千米的渔船从 B 城往 A 城开.一艘在静水中速度为每小时30 千米的治安巡逻艇从 A 城往 B 城开．已知河水的速度为每小时 6 千米 .从A流向B．两船在距离 A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达 B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯.于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达 A 城之前追上渔船？如果能的话.请问巡逻艇在距 A 城多远的地方追上渔船；如果不能的话.请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到 A 城．例题 4.蜗牛沿着公路前进.对面来了一只兔子.他问兔子：“后面有乌龟吗？” .兔子回答说：“10 分钟前我超.子速度是乌龟速度的倍．例题 5.甲、乙二人相距100 米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑 2.8 米 ,乙每秒钟跑 2.2 米 .他们同时分别在直路两端出发 ,当他们跑了30 分钟时 ,这段时间相遇了几次？例题 6.甲乙两车同时从A、 B 两地出发相向而行.两车在距离 B 地64千米的地方第一次相遇.相遇后两车继续原速前进 .并且在到达对方出发点之后 .立即沿原路返回 .途中在距离A点 48 千米处第二次相遇 . 问：两次相遇点距离是多少千米？例题 7.甲、乙两车分别从A、 B 两地出发.在 A、 B 之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时15 千米 .乙车的速度是每小时35 千米 .并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120 千米 .那么 .A、B两地之间的距离等于_________千米．例题 8.快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发.沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这 3 辆车分别用 6 分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24 千米 .中车每小时走20 千米 .那么 .慢车每小时走多少千米？例题 9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到 B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚出发10 分钟 .出发后 60 分钟追上丙 .问 .甲出发后多少分钟可以追上乙？.思考题一次越野赛跑中 .当小明跑了 1600 米时 .小刚跑了 1450 米 .此后两人分别以每秒 a 米和每秒 b 米匀速跑 .又过 100 秒时小刚追上小明 .200 秒时小刚到达终点 .300 秒时小明到达终点 .这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进.快车每秒行 18 米 .慢车每秒行 10 米 .行 12 秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进 .则 9 秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2. 一辆中巴车 6 点（ 24 小时制）从 A 城出发 .以每小时40 千米的速度向 B 城驶去 .3 小时后一辆小轿车以每小时75 千米的速度也从 A 出发到 B．当小轿车到达 B 后 .中巴车离 B 还有 90 千米．那么中巴车是几点几分到达 B 的？3.甲、乙两人从相距为 46 千米的 A、B 两地出发相向而行 .甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后 4 小时相遇 .又已知甲比乙每小时快 2 千米 .那么乙的速度为每小时多少千米？4. 甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50 米 .乙走完全程要30 分钟．相对而行10分钟后 .甲、乙仍相距100 米．那么还要过多少秒钟.甲、乙第一次相遇？5. （第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22 题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提空桶时每秒走 3 米 .提满桶时每秒 2 米 .来回一趟需10 分钟。