O xyA BCD2014 年广东高考文科数学逐题详解详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式 13V Sh = ,其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.一组数据 12 ,,, nx x x L 的方差 ( ) ( ) ( )2222121 ns x x xxxx n éù =-+-++- êú ëûL ,其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1．已知集合 { } 2,3,4 M = , { } 0,2,3,5 N = ,则M N = I ( )A ．{ }0,2 B ．{ }2,3 C ．{ }3,4 D ．{ }3,5 【解析】B ；M N = I { } 2,3 ,选 B .2．已知复数z 满足( ) 34i 25 z -= ,则z =( )A ． 34i --B ． 34i-+ C ．34i- D ．34i+ 【解析】D ； ( ) ( )( )2534i 2534i 34i 34i 34i z + ===+ --+ ,选 D . 3．已知向量 ( ) 1,2 = a , ( ) 3,1 = b ,则 -= b a ( )A ．( )2,1 - B ．( )2,1 - C ．( )2,0 D ．( )4,3 【解析】B ； ( ) ( ) ( ) 3,11,22,1 -=-=- b a ,选 B .4．若变量 , x y 满足约束条件 28 04 03 x y x y +£ ì  í ï ££ î,且 2 z x y =+ 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11【解析】C ；画出可行域如图所示,为一个五边形OABCD 及其内部区域,当直线 2 y x z =-+ 过点 ( )4,2 B 时,z 取得最大值 24210 z =´+= ,选 C . 5．下列函数为奇函数的是( )A ． 12 2x x y =-B ． 3 sin y x x =C ． 2cos 1 y x =+D ． 2 2xy x =+ 【解析】A ；设 ( ) 1 2 2 xx f x =-,则 ( ) f x 的定义域为R ,且 ( ) ( ) 11 22 22x xx x f x f x - - -=-=-=- ,所以 ( ) 12 2x x f x =- 为奇函数,选A .6．为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20【解析】C ；分段间隔为 100025 40= ,选 C .7．在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对应的边分别为 ,, a b c ,则“a b £ ”是“sin sin A B £ ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件1l 2l 3l 4 l 4l 【解析】A ；结合正弦定理知sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b £Û£Û£ ,选 A .8．若实数k 满足05 k << ,则曲线 22 1 165 x y k -= - 与曲线 221 165x y k -= - 的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】D ；因为05 k << ,所以两条曲线均为双曲线,且 2c 均为21 k - ,故选 D .9．若空间中四条两两不同的直线 1 l , 2 l , 3 l , 4 l ,满足 12 l l ^ , 23 // l l , 34 l l ^ ,则则下列结论一定正确的是()A ． 14l l ^ B ． 14// l l C ． 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D ． 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 【解析】D ；弄个正方体一目了然!10． 对任意复数 1 w , 2 w 定义 1212 w w w w *= ,其中 2 w 是 2 w 的共轭复数,对任意复数 123 ,, z z z ,有如下四个命题:① ( ) ( ) ( ) 1231323 z z z z z z z +*=*+* ； ② ( ) ( ) ( ) 1231213 z z z z z z z *+=*+* ； ③ ( ) ( ) 123123 z z z z z z **=** ； ④ 1221 z z z z *=* ；则真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】B ；①( ) ( ) ( ) ( ) 12312313231323 z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+* ,故①为真命题；② ( ) ( )( ) ( ) 12312312312131213 z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=+=*+* ,故②为真命题； ③左边 123 z z z = ,右边 ( )( ) ( )123123123 * z z z z z z z z z === ,左边¹ 右边,故③为假命题； ④左边 12 z z = ,右边 21z z = ,左边¹ 右边,故④为假命题.故只有①②为真命题,选B . 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)11．曲线 53 xy e =-+ 在点( ) 0,2 - 处的切线方程为．【解析】520 x y ++= ；由 5 xy e ¢=- 得 0 5 x y = ¢ =- ,故切线方程为 25 y x +=- ,即520 x y ++= .12. 从字母 ,,,, a b c d e 中任取两个不同的字母,则取到字母a 的概率为_______.【解析】 2 5 ； 142 5 42 105C P C === .13. 等比数列{ } n a 的各项均为正数,且 15 4 a a = ,则 2122232425log log log log log a a a a a ++++=______. (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 22cos sinr q q = 和 cos 1 r q = . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为______.【解析】( ) 1,1 ；由 2 2cos sin r q q = ,可得 ( ) 22cos sin r q r q = ,即 2 2 y x = .由 cos 1 r q = ,可得 1 x = .曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为() 1,2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形ABCD 中,点E 在 AB 上且2 EB AE = , AC 与DE 交于F ,则CDF AEF D =D 的面积的面积.【解析】9；考查相似三角形性质的应用.由题易知 CDF D ∽ AEF D 所以相似比为3:1 CD AE = ,故 CDF AEF D D 的面积的面积为相似比的平方,即为9. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分 12分)已知函数 ( ) sin 3 f x A x p æö=+ ç÷ èø ,x ÎR ,且 532122f p æö =ç÷ èø . (1) 求A 的值； (2) 若 ( ) ( ) 3,0, 2 ff p q q q æö --=Î ç÷ èø ,求 6 f p q æö - ç÷ èø.【解析】(1) 依题意 553232 sin sin 12123422 f A A A pp p p æöæö=+=== ç÷ç÷èøèø ,解得 3 A = ； (2) 由(1)知, ( ) 3sin 3 f x x p æö=+ ç÷ èø,又 ( ) ( ) 3 ff q q --=,所以3sin 3sin 3 33 p p q q æöæö +--+= ç÷ç÷ èøèø ,展开化简得 3 sin 3 q = ,又 0, 2 p q æö Î ç÷ èø,所以 26cos 1sin 3q q =-= , 所以 3sin 3sin 3cos 6632 f p p p p q q q q æöæöæö-=-+=-= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø6 = .17.(本题满分 13分)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191 28 3 29 3 30 5 31 4 323 401 合计20(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；(2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； (3) 求这20名工人年龄的方差.【解析】(1) 这20名工人年龄的众数为30,极差为401921 -= ；(2) 作出这20名工人年龄的茎叶图如下:D ABCEF 图 11 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4(3) 这20名工人年龄的平均数 192832933053143234030 20x +´+´+´+´+´+ = = ,方差 222222221 (11)3(2)3(1)50413210 20 s éù -+´-+´-+´+´+ =+´ ëû 1 (121123412100) 20 =+++++ 1 252 20=´ 12.6 = . 18.(本题满分 13分)如图 2 ,四边形 ABCD 为矩形, PD ^ 平面 ABCD , 1 AB = , 2 BC PC == ,作如图3 折叠,折痕// EF DC ,其中点 , E F 分别在线段 , PD PC 上,沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M ,并且 MF CF ^ .(1) 证明:CF ^ 平面MDF ； (2) 求三棱锥M CDE - 的体积.【解析】(1) 因为PD ^平面 ABCD ,PD Ì 平面PCD ,所以平面PCD ^平面ABCD ,又平面PCD I 平面ABCD CD = ,MD Ì平面 ABCD ,MD CD ^ ,所以MD ^ 平面PCD , 又CF Ì平面PCD ,所以CF MD ^ ,又CF MF ^ ,MD MF M = I ,所以CF ^ 平面MDF . (2) 因为CF ^ 平面MDF ,DF Ì 平面MDF ,所以CF DF ^ , 又易知 060 PCD Ð= ,所以 030 CDF Ð= ,从而 11 22 CF CD == ,因为 // EF DC ,所以 DE CFDP CP= , 即 12 = 2 3DE ,所以 3 4 DE = ,所以 334 PE = , 13 28 CDE S CD DE D =×= ,222222 3336()() 442MD ME DE PE DE =-=-=-= , 所以 11362338216M CDE CDE V S MD - D =×=××= . 19.(本题满分 14分)设各项均为正数的数列{ } n a 的前n 项和为 n S ,且 n S 满足 ( ) ( )222 330 n n S n n S n n -+--+= , *n ÎN .(1) 求 1 a 的值；(2) 求数列{ }n a 的通项公式； ABCDP图 2PCBA DEF M 图 3(3) 证明:对一切正整数n ,有( ) ( ) ( ) 1122 11111113n n a a a a a a +++< +++ L .【解析】(1) 令 1 n = 得 211 60 S S +-= ,因为 1 0 S > ,所以 1 2 S = ,即 1 2 a = .(2) 由 () ()222330 n n S n n S n n -+--+= 得 2(3)()0 n n S S n n éù +-+= ëû ,因为 0 n a > ,所以 0 n S > ,从而 30 n S +> ,所以 2n S n n =+ ,当 2 n ³ 时, 221 (1)(1)2 n n n a S S n n n n n - éù =-=+--+-= ëû , 又 1 221 a ==´ ,所以 2 n a n = ,即数列{ } n a 的通项公式为 2 n a n = . (3) 当 2 n ³ 时,( ) ( ) ( )( ) 111111 1221212122121 n n a a n n n n n n æö=<=-ç÷ ++-+-+ èø所以( ) ( ) ( ) 1122 111 111 n n a a a a a a +++ +++ L 11111111 23235572121 n n æö <+-+-++- ç÷´-+ èøL 11111111 623216233n æö =+-<+´=ç÷ + èø 当 1 n = 时,( ) 11 11 13 a a < + ,故对一切正整数n ,有 ( ) ( ) ( ) 1122 11111113 n n a a a a a a +++< +++L .20.(本题满分 14分)已知椭圆C : 22 22 1 x y a b += ( 0 a b >> )的一个焦点为 ( )5,0 ,离心率为 53.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若动点 ( ) 00 , P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a == ,可得 3,952 a b ==-= ,故椭圆C 的标准方程为 22 1 94x y += .(2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B ,且( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Ï---- ,设直线PA 为 ( ) 00 y y k x x -=- ,则PB 为 ( ) 00 1y y x x k-=-- . 由 ( ) 00 22 1 94y y k x x x x ì-=- ï í += ï î 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 220000 49189360 k x k y kx x y kx ++-+--= , 则 ()220000 9240x k x y k y D =-++-= 同理可得( )22 0000 11 9240 x x y y k k æöæö --+-+-= ç÷ç÷ èøèø.可知k 和 1 k- 是方程()220000 9240 x x x y x y -++-= 的两个实数根,则有20 4 1 1 9 y k k x - æö ×-=-= ç÷ - èø,整理得 22 00 13 x y += , 易知( )( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Î---- 也符合,故点P 的轨迹方程为 22 00 13xy += .21.(本题满分 14分)已知函数 ( ) 32 1 1 3f x x x ax =+++ ,其中a ÎR . (1) 求函数 ( ) f x 的单调区间；(2) 当 0 a < 时,试讨论是否存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèøU ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø. 【解析】(1)求导得 2()2 f x x x a ¢ =++ ,方程 220 x x a ++= 的判别式 44a D =- ,当 0 D £ 即 1 a ³ 时, ()0 f x ¢ ³ ,此时 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增；当 1 a < 时,方程 220 x x a ++= 的两不等实根分别为 1 11 x a =--- , 2 11 x a =-+- , 由 ()0 f x ¢ > 得 11 x a <--- 或 11 x a >-+- ； 由 ()0 f x ¢ < 得 1 1 1 1 a x a ---< -+- < . 综上,当 1 a ³ 时, ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ；当 1 a < 时, ( ) f x 的递增区间为 ( ) ( ),11,11, a a -¥----+-+¥ , 递减区间为 ( )11,11 a a ----+- . (2) ( ) 3232 0000 111111 1()()()1 233222 f x f x x ax a æöéù -=+++-+++ ç÷ êú èøëû3322 000 1111()()() 3222x x a x éùéù =-+-+- êúêú ëûëû 2 0 00000 111111 ()()()()() 3224222x x x x x a x éù =-+++-++- êú ëû 2 00 00 111 ()() 236122 x x x x a =-+++++ 2 000 11 ()(414712) 122 x x x a =-+++ ,若存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø,必须 200 4147120 x x a +++= 在 11 0,,1 22 æöæö ç÷ç÷ èøèøU 上有解, 因为 0 a < ,所以 21416(712)4(2148)0 a a D =-+=-> , 方程 200 4147120 x x a +++= 的两根为 142214872148 84a a-±--±- = ,又 0 0 x > ,所以 0 72148 4 a x -+- =,依题意 7+2148 01 4a-- << ,即7214811 a <-< ,所以492148121 a <-< ,即 257 1212 a -<<- ,又由 7+21481 42 a -- = ,得 54a =- , 综上,当 257 1212 a -<<- 且 5 4 a ¹- 时,存在唯一的 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø, 当 2512 a <-或 7 12 a >- 或 5 4 a =- 时,不存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø.。