棒球最佳击球点研究摘要本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，并在此基础上分析了在球棒中添加软木填充物、不同球棒材质相对于普通木质球棒的击打效果。

针对问题（1），首先对球棒外形进行几何简化抽象描述，得到球棒的几何描述方程。

然后以球-棒碰撞系统为研究对象，利用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立了刚体动力学模型，进而提出最佳击球点的计算方法，得出普通木质球棒的“最佳击球点”在距离球棒柄段66厘米处。

针对问题（2），本文从添加填充物引起的球棒质量、质心、转动惯量变化出发，分析了添加软木填充物对击球效果的影响，得到“填充软木塞降低棒球的速度”的结论。

问题（3）中，根据不同材质导致转动惯量和恢复系数不同，研究了不同材质对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。

鉴于球棒击球时存在机械振动这一客观事实，本文最后提出了利用接触力学和波动力学理论分别对碰撞模型的改进模型。

通过建立接触力学的Hertz模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。

关键词：最佳击球点动力学模型Hertz模型横向振动梁模型一、问题重述棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。

请查找资料，建立数学模型，解决以下问题：(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。

基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。

构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。

(2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮）。

进一步扩展模型确定或否定该结论。

解释为什么棒球联盟否定这种做法。

(3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的不同打击效果。

解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。

二、问题分析“击球”是一个典型的碰撞问题。

题目要求构建模型解释“最佳击球点”为何不在球棒最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，不同材质的球棒是否会产生不同的打击效果。

首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。

题目中称“可以把打击球的力量最大程度地转移到球上”的击球点为“最佳击球点”。

力量的转移不容易量化，但球的离开速度可以作为其外在表现加以测量。

这样，寻找“最佳击球点”就是寻找能使球的击出速度最大的击球点。

在最佳击球点添充软木塞会产生如下变化：改变球棒质心、改变球棒重量、改变转动惯量进而影响击球效果。

不同材质球棒的区别主要有：密度不同、质量不同导致的转动惯量不同；材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同进而影响击球效果。

将球、棒视为刚体，可以建立“球-棒”系统为研究对象建立经典动力学模型进行分析。

已有研究表明[3]，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大，可以近似为球棒是“自由端”。

利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及“恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系，从而找到“最佳击球点”并分析填充软木塞、改变材料对击球效果的影响。

经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是粗糙的。

考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型，可以得到更精确的结果。

球棒在击球过程中可看做一个一端固定一端自由的振动梁，因此可利用振动力学的知识列出球棒在击球过程中满足的微分方程，进而求解该微分方程，得出球棒的振动方程。

通过不同材质的相关参数的不同得到木质球棒与铝制球棒之间的振动差异，进而定性的解释木棒与铝棒在击球过程中体现出的不同特点。

三、模型假设与约定1、球在飞行过程中不自旋。

2、球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。

3、球棒形状、尺寸、重量相同。

四、符号说明符号含义e恢复系数C重心位置J转动惯量M球棒重量五、理论力学模型的建立与求解5.1球棒外形的抽象描述模型文献表明，木质棒球球棒的一般规格为：球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下：图 1球棒沿轴线的截面其中各部分的长度1x 、2x 可由球棒重量及重心位置确定：球棒重量：222221112211[()]33M V r x r H r h r L x ρρππππ=⋅=⋅+-+- (1)212112,h x x h H h x x r r +-==+- 依据质心的定义，质心两侧球棒所受重力对重心力矩平衡：gl gr M M = (2)11221()()x Cgr x M g r C x dx g r C x dx ρπρπ=⋅⋅-+⋅⋅-⎰⎰22222()()x Lgr Cx M g r x C dx g r x C dx ρπρπ=⋅⋅-+⋅⋅-⎰⎰式中r 为积分变量x 的函数，有：211211r r r r x x x x --=-- 由（1）（2）式，带入数据得：120.34590.6423x x ==这样，棒球各部分的半径长：121112120.025()()0.0250.152(0.3459)0.070r r r r x r x x x x x r ⎧⎧⎪-⎪⎪=+-=+-⎨⎨-⎪⎪⎩⎪⎩球棒外形简化模型的确定，为不同材质、材质不均匀（如填充软木塞）的球棒转动惯量的求解提供了方便。

5.2最佳击球点的刚体动力学模型分析击球手的击球动作可知，击球瞬间存在两个转动系统：手臂和球棒以身体重心轴为轴的转动、球棒以手腕为轴的转动。

以身体重心所在轴B 为坐标原点，球棒轴线为x 轴，轴线垂直方向为y 轴建立平面直角坐标系。

设球棒质心坐标C ，身体重心坐标B ，手持点坐标W 。

击球点坐标P ，球棒近身端坐标0x 。

BW 间距离为R ，WC 间距离为H ，CP 间距离为S 。

示意图如下：图 2 击球过程抽象图碰撞瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以球-棒系统为研究对象，y 轴方向上有动量守恒：11211212m v m u m v m u +=+ (3)其中1m 为球的质量，2m 为球棒质量，1v 为球的初速度，2v 为球的离开速度，1u 为击球前棒的质心速度，2u 为击球后棒的质心速度。

设球棒击球前后的角速度分别为1ω、2ω，则：11()u R H ω=+，22()u R H ω=+ (4)恢复系数e 为碰撞接触点碰撞前相对接近速度除以碰撞后相对远离速度，即：222111v u Se v u Sωω--=-++ (5)以身体重心轴为轴建立球-棒系统的角动量守恒方程，以球棒质心为轴，球-棒系统无外力矩，因此角动量守恒，即：111122()()m v S R H J m v S R H J ωω+++=+++ (6)由(3)、(4)、(5)、(6)可得击打后的球速表达式为：112121(1)[()]()J e v S H R v v J m S R H ω+-++=-+++其中转动惯量：0022()x Lx x J r x dx ρπ+=⎰2v 对S 求导得:221111221(1)(())2(1)(())(())v J e J m S H R m xJ e v m S H R S J m S H R ω∂-++++-+-++=∂+++ 令20v S∂=∂得最佳击球点位置。

统计文献表明，棒球击球瞬间的运动学参数如下： 表 2击球瞬间的运动学参数运动学参数 数值1v27.7m/s 1ω17.288rad/s计算得最佳击球点位置为距棒手柄端点70cm 处。

改变击球点位置，得到棒球撞击后的离开速度曲线如下图：图 3 击球点位置与球离开速度的关系5.3球棒填充物的影响分析棒球手在最佳击球点添充的软木塞一般为直径1英寸（2.54cm ），10英寸（25.4cm ）深的圆柱体。

软木塞密度260～320 kg/m 3，密度幅度较大，主要由各地区树皮的密度决定，一般不超过340 kg/m 3，小于木质球棒的密度649kg/m 3。

因此，在球棒中填充软木会带来以下变化：（1） 球棒质量变小，惯性减小，可增加球棒的可控性（bat control ）。

（2） 球棒质心向手握点靠近，可使击球时球棒的角动量减小，进而影响击球效果。

（3） 转动惯量变小，进而影响最佳击球点及最大球速。

下面从以上三个方面量化分析填充物对击球效果的影响。

质量减小量：()s s M V ρρ∆=- 质心改变距离：'C C C ∆=-在建立的坐标系中，原质心横坐标56.4C =。

设填充后质心横坐标为'C ，根据质心定义，在质心左右两侧重力矩平衡，有：''2'2'222()()()0()()[()]C L dLx x x s s s C L dg r C x dx g r x C dx g r r g r dx ρπρπρπρπ---=-+-+⎰⎰⎰由此式可计算填充后质心坐标为'C 。

球员击球时，以身体重心轴为转轴挥棒的转动惯量：0000'22222()()[()]x L dx Lx x s s s x x L dJ r x dx r r r dx ρπρπρπ+-++-=+-+⎰⎰转动惯量减小量：'J J J ∆=-利用问题（1）所建模型易知，球棒填充软木塞后的最佳击球点及球的最大离开速度的计算只需修正公式中的转动惯量。

即：''1121'21(1)[]J e v x v v J m x ω+-=-+ 求导易得球的最大离开速度及对应的最佳击球点。

最大离开速度改变量：'22v v v ∆=-代入软木塞密度下限3260 kg/m sl ρ=，软木塞密度上限3320 kg/m su ρ=可以得到塞入软木塞的影响效果区间：表 3 球棒填充物影响结果密 项目 度M ∆C ∆ J ∆v ∆3320 kg/msu ρ=40g0.01cm 20.02kg m ⋅1.1/m s3260 kg/msl ρ=46g0.01cm20.03kg m ⋅1.6/m s图 4 不同转动惯量下球的离开速度随击球点的变化表 4 不同转动惯量下球的最大离开速度J0.163 0.173 0.183 0.193 0.203 0.213 最大击球速度点 0.5960.6170.6380.6600.6820.702最大速度31.517 32.085 32.645 33.198 33.744 34.283结果分析：通过以上结果可知，在球棒中添加填充物对击球效果并不能产生积极影响，主要原因是由于球棒变轻，球棒转动惯量减小，使碰撞能量传输效率变低。