微专题-立体几何中的共面问题【考情分析】立体几何中的共面问题是近两年高考中的常考题型，在近期的模拟考试的填空选择和解答题中也多有出现，属于中等难度。

【核心素养】转化化归思想匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。

”但是，提问者指出，这一回答并不能使他感到满意。

因为，数学家的回答应是这样的：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我已把后一问题化归成原先的问题了。

”【前测训练】1.如图，已知正方体1111ABCD A BCD -1AM AN ==的棱长为3，,M N 分别是棱1AA 、AB 上的点，且1AM AN ==.（1）证明：1,,,M N C D 四点共面；（2）求几何体1AMN DD C -的体积.【思路引导】（Ⅰ）欲证M ，N ，C ，D 1四点共面，转证MN ∥A 1B 即可；（Ⅱ）先证明几何体1AMN DD C -是一个三棱台，再求几何体1AMN DD C -的体积．试题解析：（1）证明：∵11//A D AD ，11A D AD =，又//BC AD ，BC AD =，∴11//A D BC ，且11A D BC =，连接1A B ，则四边形11A BCD 是平行四边形，所以11//A B D C 在1ABA ∆中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM AN AA AB=，所以1//MN A B 所以1//MN D C ，所以1,,,M N C D 四点共面.（2）因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，又1,,,M N C D 四点共面，所以平面//AMN 平面1DD C 延长CN 与DA 相交于点P ，因为//AN DC 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =，同理可得32QA =，所以点P 与点Q 重合所以1,,D M DA CN 三线相交于一点，所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台111199133322222AMN DD C V -⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 2.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面ABCD ,1AB PA ==,3AD =, ,F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；（2）求异面直线PB 与AE 所成的角余弦值.【思路引导】（1）因为在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,可得EF ∥AD ,结合底面为矩形,即可求得答案;（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,求得PB 和AE ,||cos ||||PB AE PB AE θ⋅=⋅,即可求得答案. 【详解】（1）在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,∴EF ∥AD 又底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC ∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,如图:可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴(1,0,1)=-PB ,312AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,||2cos ||||2121PB AE PB AE θ⋅∴===⋅⋅【考题再现】1.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值.【详解】设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c .如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系C 1－xyz .(1)证明：连接C 1F ，C 1(0，0，0)，A (a ，b ，c )，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，EA →＝1(0,,)3b c ，C 1F →＝1(0,,)3b c ，得EA →＝C 1F →，2(,0,)3E a c 因此EA ∥C 1F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面，所以点C 1在平面AEF 内.【方法联想】点在面内转化划归为四点共面转化化归为线线平行本题也可以采用证明EC 1∥AF 来证明，无需建系，岂不快哉！(2)由已知得A (2，1，3)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，A 1(2，1，0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1).设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1，1). 设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1. 设二面角A －EF －A 1的平面角为α，所以cos α＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77， 则sin α＝1－cos 2α＝427，所以二面角A －EF －A 1的正弦值为427. 【方法总结】参考周国yi 的分析【微点突破】【典型例题1】（2019·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC ＝13. (1)求证：CD ⊥平面P AD ； (2)求二面角F －AE －P 的余弦值；(3)设点G 在PB 上，且PG PB ＝23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.(1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .又因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD .(2)解 过点A 作AD 的垂线交BC 于点M .因为P A ⊥平面ABCD ，AM ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AM ，P A ⊥AD .建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，－1，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).因为E 为PD 的中点，所以E (0，1，1).所以AE →＝(0，1，1)，PC →＝(2，2，－2)，AP →＝(0，0，2).所以PF →＝13PC →＝222(,,)333-所以AF →＝AP →＋PF →＝224(,,)333设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1，x ＝－1. 于是n ＝(－1，－1，1).又因为平面P AD 的一个法向量为p ＝(1，0，0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－33. 由题知，二面角F －AE －P 为锐角，所以其余弦值为33. (3)解 直线AG 在平面AEF 内，理由如下：因为点G 在PB 上，且PG PB ＝23，PB →＝(2，－1，－2)， 所以PG →＝23PB →＝424(,,)333--，所以AG →＝AP →＋PG →＝422(,,)333- 由(2)知，平面AEF 的一个法向量n ＝(－1，－1，1)，所以AG →·n ＝－43＋23＋23＝0.又点A ∈平面AEF ，所以直线AG 在平面AEF 内. 【方法联想】线与平面的位置关系转化划归为利用向量法证明线面平行即转化划归直线与平面法向量垂直问题【随堂训练】（2021苏锡常镇一模19）如图，在四棱锥P —ABCD 中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，PC ＝2，E 为PD 的中点．（1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（2）设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并请证明你的结论．【答案】（1）13；（2）F 在平面PAC 内．证明见解析． 【分析】（1）计算出2PA PD ==证明AC CD ⊥，然后取取AD 中点O ，连接,OC OP ，可证明OP ⊥平面ABCD ，这样可建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值；（2）F 在平面PAC 内．只要证明AF 与,AC AP 共面即可得．【解析】直角梯形ABCD 中，由已知可得2AC =，2CD =，∴222AC CD AB +=，即AC CD ⊥，又APD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴2PA PD == 取AD 中点O ，连接,OC OP ，则1OC OA OD ===，1OP =，则OAP OCP ODP ≅≅△△△，∴POA POC POD ∠=∠=∠，又180POA POD ∠+∠=︒，∴90POA POC POD ∠=∠=∠=︒，∴OP AD ⊥，OP OC ⊥，而OC AD O =，,OC AD ⊂平面ABCD ，∴OP ⊥平面ABCD ，因此可以,AB AD 为,x y 轴，过A 平行于OP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,1)P ， (0,1,1)=AP ，(1,1,0)AC =，设平面PAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AP y z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1y =-，则1x z ==，即(1,1,1)n =-，又(1,1,1)BP =-，1111cos ,333BP n BP n BP n ⋅--+===-⨯， 直线PB 与平面PAC 所成角为θ，则1sin cos ,3BP n θ==．备注：以上图,,OC OD OP 分别为,,x y z 建立直角坐标系更加容易计算。