尊重教材 理解教材 创造教材教材是个例子，关键在于教师对于教材的理解，理解得深，思考得透，教材才能把握得好．笔者认为，对教材的解析有三个层：尊重、理解和创造．结合自己的数学教学，下面谈谈如何对数学教材的把握，不妥之处，期盼指正．1 尊重教材尊重教材，必须要“吃”透教材、读懂教材．具体到一节课，可以从以下几个方面入手研读教材：了解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题与例题的关系，揣摩插图的编排意图，钻研提示语和旁注．做到“五读俱全”，即读懂问题情境，读懂每一道习题，读懂教材内容的结构，读懂教材的呈现方式，读懂教材的旁注、留白．案例1 为什么找不出更多的“函数关系”？一次说课，课题是《函数》（第1课时），即函数的概念课．为了了解教师对教材理解的准确性、深刻性，说课完毕，每位选手须回答一个来自教材的问题：如图1，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化；随着半径的确定而确定（苏教版八（上）第141页）．请你在这里例子中，请你用数学语言举出更多（3个或3个以上）的函数关系．说课的教师给出答案“它的面积随着半径的变化而变化”、“它的周长随着半径的变化而变化”……也有教师回答出“它的面积随着周长的变化而变化”，接下来便“卡”住．原因何在，忽略了变化过程中的“时间”变量，从时间、半径、周长、面积四个变量中可以找出多个函数关系．“如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，x 就叫做自变量．”这是初中数学教材中函数的概念．本例中，对于“变量”的认定，教师们普遍较为狭隘，仅局限于“半径、周长、面积”等“纯数学”的认定，忽略了整个变化过程中最关键的“时间”变量．其实，还有忽略的变量还有：水滴的大小、声音的响度等等．对数学概念的理解不到位，其危害性极其严重．没有准确理解数学概念，无法深入学习数学，提高解题水平便是空谈．因此，准确理解数学概念，是尊重教材的基本前提．案例2 为什么不需要“去分母”？议一议:如何解方程x －20.2 －x ＋10.5＝3？①（苏教版七（上）第99页） 该“议一议”是在解一元一次方程的各种题型出现之后．其所承载的教学任务是什么？笔者揣摩，这是让学生体会等量变形的过程？还是领悟化归的思想方法？如果延续教材常规的思路教学：去分母，方程两边同时乘以0.2×0.5，得到0.5（x －2）－0.2（x ＋1）＝3×0.2×0.5②．去分母，计算较烦．将小数化为分数，得12（x －2）－15（x ＋1）＝3×12×15③． 此时，直接去括号显然不如去分母来得简洁．方程两边同乘以10，得5（x －2）－2（x ＋1）＝3④．至此，可去括号解之即可．如果我们关注④式的出现，这个教学设计早已“预谋”：请问，省略第②、③两步，直接由第①步到第④步吗？部分学生在观察之后，立即顿悟：10.2就是5，10.5就是2……原来本题用分数的基本性质解释也可（在图1这里补充说明，有的方程用分数的基本性质不一定将分母恰好化为1）．因此，本题所承载的教学任务是进一步巩固解一元一次方程的通法，在通法的基础上派生出“特法”． 一味强调通法，可能会扼杀了学生的灵性；过于追求特法，忽略了教材的内涵；先通法后特法的教学，才是真正理解了学生、理解了教材．笔者认为，教学离不开教材，“尊重教材”就是要用好教材，准确把握教材的编写意图，在教学中力求还原教材编写的本意，深入感悟教材资源，实现教材自身价值的最大化．2 理解教材理解教材，就是以教材作为原型和范例，在依托教材的基础上，根据实际需要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，最大限度地发挥教材的功能．笔者认为，开发习题资源是对教材进行适度的拓展和延伸的重要方面．习题在数学教材中占很大的比重，如何充分利用课本中的习题资源，开发习题的育人价值是理解教材的一个重要方面．数学习题蕴含有知识功能、教育功能和评价功能．案例3 仅限于“路程”去寻找等量关系？一队学生从学校步行到博物馆，他们以5 km/h 前进，24min 后，一名教师骑自行车以15km/h 的速度按原路追赶学生队伍，这名教师从出发到途中与学生队伍回合用了多少时间？（苏教版七（上）第106页）常见的分析是根据“路程相等”：“该教师出发前，学生已经步行5×2460km ．若设教师从出发到途中与学生队伍回合用了x 小时，则教师行了15x km ；同时，学生步行5x km ．画出线形示意图，根据“路程相等”列出方程5×2460＋5x ＝15x ．” 如果实际教学到此，那么教师对“数量关系分析”止于浅层次，没有理解教材意图： “突出解决问题的策略”．根据“时间相等”分析：“若教师从出发到途中与学生队伍会合时，学生行了x km ，则学生用了x 5h ；同时，学生用了560245⨯+x h ．画出线形示意图，根据“时间相等”很快列出方程5560245x x =⨯+．” 事实上，有这样的教学构想的现象不多，以致学生对 “等量关系”的理解在浅层次徘徊．为了考查对问题解决中等量关系的寻找，我们在考试评价中有所体现．这是七年级期末县调研测试最后一题：某地自然灾害造成电路断电，该地供电局组织电工进行紧急抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度．命题组有意“规定”：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时．根据题意，可得方程 ．从班级答卷中情况看，正确者不超过四分之一，在预想范围之中．在数学教学中，解答习题本身并不是目的．学生一旦开始解题，他就接受着一种思想的训练，从技能、思维、智力、非智力等各方面塑造自己．教材的习题注重培养学生的分析、综合、判断、推理的思维能力，培养学生解决实际问题能力和对数学积极的情感体验，在编排上注重利用实际情景设计开放性的问题，为教师创造性地组织教学提供了丰富的资源．教师要有习题资源的意识，将教材中的习题拓展为一个个值得学生探究的数学问题，以利于拓展学生的探索空间，促进学生的合作交流，让习题增值．案例4 “梯形的中位线性质”可以“倒过来”行吗？“梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半”．学生皆知．“倒过来”如何理解吗？适当将将条件和结论作一些互换．对于本题，即“对于任意四边形，假设一组对边中点的连线是该四边形的中位线，如果其长等于另外两边和的一半，那么该四边形是梯形吗？”章结束时，笔者作了这样的测试，以引证笔者的猜测．本题需要自己画图．如图2，四边形ABCD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，如果MN ＝12（AD ＋BC ），判断四边形ABCD 的形状．笔者期待的方法是构造三角形的中位线解决．连结对角线BD ，取BD 的中点P ，连结PM 、PN ，在△BDA中，易得PM ＝12AD 且PM ∥AD ，在△BDC 中，同理PN ＝12BC 且PN ∥BC ．故PM ＋PN ＝ 12（AD ＋BC ）．已知MN ＝12（AD ＋BC ），故PM ＋PN ＝MN ，因此点P 在线段MN 上，即PN ∥BC ∥AD ，所以四边形ABCD 是梯形．之所以这样测试，首先是担忧学生对“三角形形的中位线”、“梯形的中位线”的认识仅是模仿，如果学生能尝试解决本问题，那是真正理解“三角形形的中位线”、“梯形的中位线”的性质．从班级答卷中情况看，正确者只有八位同学，令人遗憾．担说明很多学生对“梯形的中位线”的认识仅是模仿，没有真正理解“梯形的中位线”的性质．特别是几何问题，如等腰三角形的“三线合一”，那么一个三角形底边的中线也是顶角的角平分线，那么这个三角形是等腰三角形吗？等等此类问题都值得思考．在某种程度上，教师对教材理解的深刻程度决定了学生数学素养的培养．3 创造教材创造性地使用教材并非简单地改变教材，它是用教材教的最高境界——超越教材、活用教材．具体体现在教师对教材有深刻和独到的见解，对教学有独特的思路和设计，能够对教材的绝对权威提出挑战，作出有个性的演绎，面对复杂多变的教育情景及时增删、延展固有观念，创造出有益于师生对话的氛围，使教学活动更加鲜活生动．它要求教师能够站在与教材编写者同样的高度去审视教材，能够读懂学生、读懂教材，寻求学生认知规律与教材编写意图之间的契合，对教材科学合理地整合、重组和超越，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性、现实性和挑战性，更好地调动学生的积极性和主动性．案例5 为什么只想到用“对称中心”去解决？画一条直线将下列缺角矩形的面积平分．下面三个方法是我们教学中常见的，具体画法省略不写．以上三种方法都是将缺角图形分割成两个矩形，直线过两个矩形对角线的交点将图形的面积平分．原理很简单，对角线的交点是中心对称图形（平行四边形矩形、菱形、正方形）的对称中心，过对称中心的直线将中心对称图形的面积等分．图4 图5 图3A B A B D PM N 图2问题是，有教师在课堂上给出结论：缺角矩形的面积平分有上面三种方法．这样的说法是错误的．可以这样解释：如图6，连结线段AB 并取其中点O ，过点O 作直线交上下两边于点C 、D ，因为S △AOC ＝S △BOD ，所以直线CD 平分缺角矩形的面积（图4）．由此，本题有无数种方法．事实上，平分任意一个平面图形的直线都可以找到无数条．由此揣摩，对“缺角矩形的面积平分”问题理解的局限，是源于“对称中心”的机械认识，归根到底是对教材理解的浅化．而图6的解法才是创造性地使用教材．案例6 为什么不用“相似比”解决？ 教材习题、平时单元检测以及双休作业中，有一些习题不是难、繁，而是背景的新颖，掩盖了方法的寻找，而方法的寻找就成为了微型研究性学习的极好素材．初三教完“内切圆”以后，有一道选择题作为双休作业布臵下去：如图，已知Rt △ABC 的直角边AC =24，斜边AB =25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位臵时，点P 所经过路径的长度是（ ）A ．356B ．25C ．3112D ．56 收上来批改，只有几个学生做对．课堂上分析，点P 所经过路径是什么？“是三角形，是直角三角形P A P B P C ，而且与原来的直角三角形相似”．能将这个直角三角形的每一条边求出吗？由切线长定理知，CN ＝CM ＝1，设BD ＝BE ＝x ，AH ＝AF ＝y ．P A P C ＝HN ＝AC －AH －NC ＝24－y －1＝23－y ，同理P B P C ＝6－x ，P A P B ＝25－x －y ．由于P A P C ∥AC ，P B P C ∥BC ，易知△P A P B P C ～△ABC ．所以P A P B AB ＝P B P C BC ＝P A P C AC， 得25－x －y 25＝6－x 7＝23－y 24 ，得x ＝43，y ＝7． 因此P A P C ＝16，P B P C ＝143 ，P A P B ＝503，故P A P C ＋P B P C ＋P A P B ＝1123．选C ． 还有更好的方法解决吗？前排有个男生举起手说：“这两个直角三角形相似，那么他们内切圆的半径之比等于它们的相似比．作△ABC 的内切圆，用面积法计算它的半径为3；作△P A P B P C 的内切圆，发现它与△ABC 的内切圆是同心圆，所以它的半径应该比△ABC 的内切圆的半径小1，应该是2．”我示意他停顿，将两个内切圆画上，以便大家直观理解．“而△P A P B P C ～△ABC ，所以两者的周长比等于内切圆的半径比是23，而△ABC 的周长是25＋24＋7＝56，所以△P A P B P C 的周长是56×23＝1123．选C ．” 诧异、惊叹，掌声一片．能解释“这两个直角三角形相似，那么他们内切圆的半径之比等于它们的相似比？”学生展开研究，小组汇报．“设大两个三角形的半边长分别为ka 、kb 、kc （k ＞1，kc 是斜边），则小两个三角形的半边长分别为a 、b 、c ，同时设大小两个内切圆的半径分别为R 、r ，根据求内切圆的半径的公式有12R （ka ＋kb ＋kc ）＝12ka ·kb，A图6且12r（a＋b＋c）＝12ab，可以推出Rr＝k．”问题还有进一步研究成果：“任意两个三角形相似，其外接圆的半径之比等于它们的相似比”．不可否认，一线教师习惯于解题研究，甚至喜好。