模拟测试题(二)考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分.(2)本试卷考试时间为180分钟.一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分)(1) 设{}n x 是无界数列,{}n y 是无穷大量, {}n z 是无穷小量.则以下结论正确的是 ( ) .(A ) {}n n n x y z ++是无界数列; （B ）1{}n n n x z y ++是无界数列;(C ) 1{}n nx z +是无界变量; (D ) 1{}n n nz x y ++是无穷小量.(2) 设 2221()||2,2212x x f x x x x x x --<-⎧⎪⎪=+≤⎨⎪+>⎪⎩ 则()f x 在2x =±的左、右导数中有( ) .(A ) (2);f '+=∞ (B ) (2);f '-=∞ (C ) (2);f '+-=∞ (D ) (2).f '--=∞(3) (一)级数1112022;,11n n n n J d x J d x xx∞∞====+-∑∑⎰⎰则( ).(A ) 1J 收敛, 2J 发散; （B ) 1J 发散, 2J 收敛 ; （C ）两级数皆收敛; (D ) 两级数皆发散 . (3)(二、三)设D 是第二象限中的一个有界闭区域, 且0 1.y <<且31,DI yx d σ=⎰⎰23323,.DDI y x d I σ==⎰⎰⎰⎰则 ( ) .(A ) 123;I I I ≤≤ (B ) 213;I I I ≤≤ (C ) 312;I I I ≤≤ (D ) 321.I I I ≤≤ (4) (一) 设(0,0)1,(0,0) 2.x y f 'f '==则( ).(A ) (0,0)(,)|2;df x y dx dy =+ (B ) (,)f x y 在(0,0)点连续 ;(C )(,)f x y 在原点沿{0,1}方向导数等于1; (D )(,)f x y 在原点沿{0,-1}方向导数为 -2.(4) (二、三) 曲线2211x xe y e--+=-( ).(A ) 没有渐进线 ; (B ) 仅有水平渐进线 ;(C ) 仅有铅直渐进线 ; (D ) 既有水平渐进线又有铅直渐进线 . （5）设m n ⨯矩阵A 的n 个列向量线性无关，则( ) .(A) ();Tr n =A A (B ) ();Tr n <A A （C ）();Tr n >A A (D ) ().Tr m >A A(6) 设123,,,αααβ均是三维向量, 则下列命题正确的是 ( ) . ①若 β 不能由123,,ααα线性表示,则123,,ααα必线性相关 ; ②若 β 不能由123,,ααα线性表示,则123,,ααα必线性无关 ; ③若123,,ααα线性相关,则 β 必可由123,,ααα线性表示 ; ④若123,,ααα线性无关,则 β 必可由123,,ααα线性表示 . (A ) ①② ; (B ) ①③ : (C ）①④ ; （D ）②④ .（7）（一、三）设随机变量X 与Y 相互独立, 且同分布, X 的概率密度为2013,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，如果实数a (01)a ≤≤满足1{},20P X Y a +≤=则必有( ).(A) 1;a < （B ）1;a = （C ）12;a << （D ）2.a = （7）（二）已知()f x 在0x =的某邻域内连续,且(0)0,f =若0()lim21co s x f x x→=-- 则在0x =处()f x ( ).(A ) 不可导 ; (B ) 可导但(0)0;f '≠(C ) 取得极大值 ;(D ) 取得极小值 . (8) (一) 设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 且,2,E X D X μ== 则下列结论正确的是 ( ) .(A ) X 是μ 的最大似然估计 ； （B ）2()X 是2μ的无偏估计 ；（C ）22{||}1;P X n μεε-<≥-(D )221()~().2ni i XX n χ=-∑(8)(二) 设()y y x =是满足微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=的初始条件(0)1y =的特解, 则1212()().y x d x -=⎰(A ) ln 3;- (B ) ln 3; （C ）1ln 3;2(D ) 1ln 3.2-(8) (三) 如果存在常数,(0)a b a ≠使{}1,P Y aX b =+=且0,D X <<+∞那么X Y ρ为 ( ) .(A ) 1 (B ) - 1 (C );||a a （D ）|| 1.X Y ρ<二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） (9) 设22(1)2,x xf x x ++=-则(0)_________.f '=(10) 2111lim ()_________.428932n n n →∞+++=--(11) 35xy''y'ay e --+=-有一形式为xA xe-的特解,则其通解为y = ___.(12)222__________.yxd x ed y -=⎰⎰(13) 设三阶实对称矩阵A 满足 32353,--0A A +A E =则A 的三个特征值为__________________.(14) (一、三)已知二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为:0,(,),0,xy xe f x y -<<⎧=⎨⎩其它 则{5|3}________.P X Y >≤=(14) (二)设 ()y y x = 由2323sin 10y x t t e t y ⎧=-+⎨-+=⎩所确定, 则202|__.t d yd x ==三、解答题（本题共9小题，总分94分）（15）（本题满分10分） 设数列{}n x 满足关系12(1)(0,1,2,),2n n nx x n x ++==+证明:不论0x 取什么正数,数列 {}n x 均收敛,并求lim .n n x →∞（16）(一)（本题满分10分）设(,),(,)u u x y v v x y == 由方程组22223x u u v v y u v u v⎧=++⎨=+⎩确定, 求 ,,.u u v vx y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂及 (16) (二、三) （本题满分10分）计算积分210.yx ye d x y ⎰⎰(17) (一、二)（本题满分10分）设一长度为1的非均匀细棒,其上一点[0,1]x ∈处的线密度分布函数(),f x μ=满足关系式(0)0,(1)1,f f '==当()u f xyz =时,3222().u x y z f '''xyz x y z∂=∂∂∂求此细棒的质心.(17) (三)（本题满分10分）已知某产品的生产量函数为3144(,)100,f x y x y =式中x 代表劳动力的数量, y 为资本的数量,每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元和250元,产品的总预算是50 000元,问如何分配这笔钱来顾佣劳力和资本投入,可使该产品的产量最高.(18) （本题满分10分）设在 [0, a ]上，|()|,f ''x M ≤且()f x 在开区间(0,a ) 内取到最小值,证明(0)().f 'f 'a M a +≤(19) (一) （本题满分10分）设()f u 连续,计算积分2221()[()1]Cy f xy x I d x y f xy d y y y+=+-⎰其中C 是抛物线21(13)6y x =--从(1,2)至2(3,)3的弧段.(19) (二) （本题满分11分）A 是半径为R 的圆内一定点, A 与圆心的距离为().a a R < 过圆上任一点Q 作圆的切线QP ,再过A 点作此切线的垂线,垂足为P .求当Q 取遍圆周上各点时，P 点的轨迹所围成图形的面积. (19) (三) (本题满分10分）将2()ln (3)f x x x =-在1x =处展开为幂级数.(20) （本题满分11分）设123123(,,),(,,),T Ta a ab b b ==αβ 且1122331,a b a b a b ++=记,T=αβA 求可逆矩阵P 及对角矩阵 Λ使1.PA P Λ-=(21)（本题满分11分）已知方程组(Ⅰ)12312312323123510x x x x x x x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 与(Ⅱ) 123212302(1)1x b x cx x b x c x ++=⎧⎨+++=-⎩有解, 且同解.求,,a b c 的值.(22)(一、三)（本题满分11分）设随机变量12,,,(7)n X X X n ≥ 相互独立同分布:{2},{0}1,01,i i P X p P X p p ====-<< 令123456723,X X X X X X X X =+11,ni i X X n==∑(Ⅰ) 求随机变量X 的概率分布.(Ⅱ)求i X X -和()j X X i j -≠的相关系数.(22) (二) (本题满分11分) 汽车制动时,阻力与速度成正比,摩擦力为常数f ,汽车质量为m ,初速度为0,v 求制动时位移、速度与时间的关系.(23)(一、三)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为222,()00,xx f x x θ-⎧>=≤⎩θ 是未知正参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本, 试求θ 的矩估计量和最大似然估计量.(23)(二)(本题满分11分)设f (x )连续,且对任意实数x 及正常数T , 均有()4,x T xf t d t +=⎰ 求极限0()lim.x x f t d t x→+∞⎰。