全国硕士研究生入学统一考试数学（
三）
模拟试卷
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．）
（1）已知当0→x 时，1)2
31(31
2
-+x 与
1cos -x 是 （ ）
（A ）等价无穷小 （B ）低阶
无穷小
（C ）高价无穷小 （D ）同阶
但非等价无穷小
（2）设()f x 满足
()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且
(0)2f =，0)0(='f 则（ ）
（A ）0x =是函数()f x 的极小值点
（B ）0x =是函数()f x 的极大值点
（C ）存在0δ
>，使得曲线()y f x =在点
(0,)δ内是凹的
（D ）存在0δ
>，使得曲线()y f x =在点
(0,)δ内是凸的
（3）设有两个数列
{}{},n n a b ,若lim
0n n a →∞
=,则正确的是 （ ）
（A ）当
1
n
n b
∞
=∑收敛时,
1
n n
n a b
∞
=∑收敛.
（B ）当
1
n
n b
∞
=∑发散时,
1n n
n a b
∞
=∑发散.
（C ）当
1
n
n b
∞
=∑收敛时,
221
n n
n a b
∞
=∑收敛.
（D ）当
1
n
n b
∞
=∑发散时,
221
n n
n a b
∞
=∑发散.
（4）设22(,)xy
z f x y e =-，其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z y
x x y
∂∂+=∂∂ （ ）
（A ）(
)
v xy
f e
y x '+2
2 (B)
v xy u f xye f xy '+'24
(C) (
)
u xy
f e
y x '+2
2
(D) v xy
f xye
'2
（5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中
12,αα线性无关，若1232αααβ+-=，
1234ααααβ+++=，
1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通
解为（ ）
（A ） 123112213111012k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （B ）
12012123201112k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（C ）
12112213111012k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （D ）1230111121120211121k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（6） 设A 为4阶实对称矩阵,且2
A A O +=,
若A 的秩为3,则
A 相似于 ( ) (A ) 1110⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫
⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
. (C ) 1110⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别
服从参数为1与参数为4的指数分布，则
{}P X Y <=( )
（8）设12,,
,n X X X 为来自指数总体
()E λ的简单随机样本，X 和2S 分别是样本均
值和样本方差．若2
2
2
1
()E kX S λ-=
，则k =
（ ）
（A ）1 (B) 2
(C)
1n n + (D) 21
n
n + 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共
24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
（9）设1
lim )(212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数，求=a ___，=b 。

（10）曲线1y
y xe -=在0x =处的法线方
程为 （11）
曲线x =2y =及y 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为____
（12）积分
()1
13
320
1
x
x y
y dx e dy dx e dy -+=⎰⎰
⎰⎰
（13）若3维列向量,αβ满足2T
αβ=，
T α为a 的转置，则行列式2T E βα+=
（14）设二维随机变量),(Y X 服从
)0;,;,(22σσμμN ，则=)(2XY E
三、解答题（15～23小题，共94分） （15）（本题满分10分）求
.))1ln(1()1(lim 22
0x
x e x x
x +--+→ （16）（本题满分10分）设),(y x z z =是由
0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的连
续函数，求),(y x z z =的极值点和极值.。

（17）（本题满分10分）
函数()x f 在[0,)+∞上可导，()0f 1=，且满足
(1) 求导数()x f '. (2) 证明：当x
0≥时，不等式：
()1≤≤x f e x 成立.
（18）（本题满分10分）设某企业生产一种产品，其成本
322
()1610010003
C Q Q Q Q =-++，平均收
益1
(),(0,024)2
R Q a bQ a b =-><<，当
边际收益44MR =，需求价格弹性41
19
q E =时
获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数,a b 的值．
（19）（本题满分10分）
求级数
∑∞
=+1)1(n n
x n n 的和函数()S x ，进而求
∑∞
=+1
2)
1(n n n n 的和。

（20）（本题满分11分）
设线性方程组()Ⅰ
⎩⎨
⎧=++=++0
45102321321x x x b
x x x 与()Ⅱ1231
23216322ax x x x x x b --=⎧⎨++=-⎩有公共解，试确定
a ，
b 满足的关系，并求出所有的公共解．
（21）（本题满分11分）已知二次型
222
12312312
(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++ 的秩为2。

（1）求a 的值 （2）求正交变换x Qy =，把123(,,)f x x x 化成
标准型
（3）求方程123(,,)0f x x x =的解
（22）（本题满分11分）设随机变量,X Y 具有相同的概率分布，X 的分布律为
12{0},{1}33P X P X ====，且
1
2
XY ρ=，记Z X Y =+
（1）求(,)X Y 的概率分布 （2）求Z 的概率分布
（23）（本题满分11分） 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由
0,2x y x y -=+=与0y =围成的三角形区
域，求
（1）求X 的概率密度()
X f x （2）求条件概率密度
()
X Y f x y。