与轴对称相关的线段之和最短问题一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。

通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。

本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。

若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。

二．数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。

使△PAB 的周长最小4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。

使四边形PAQB 的 周长最小。

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”三.两边之和大于第三边型 (一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？MEB'C D AB作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小2．如图，C为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。

已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值3．求代数式x 2 + 1+(4-x)2 + 4（0≤x ≤4）的最小值(二)角类4．两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.解：分别做点P 关于直线OA 和OB 的对称点P 1、P 2，连结P1P2分别交OA 、OB 于C 、D ，则C 、D 就是建加油站的位置.若取异于C 、D 两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C 、D 两点建加油站运油车所走的路程最短.5．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2，则OP = OP 1 = OP 2 = 10且∠P 1OP 2 = 90°由勾股定理得P 1P 2 = 10 2(三)三角形类6．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PEB'E 的长就是PB+PE 的最小值7．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 58．等腰△ABC 中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M 、N 分别是AB 、AC 上的点，求BN+MN+MC 的最小值 分别作点C 、B 关于AB 、AC 的对称点C ’、B ’，连接C ’B ’交AB 、AC 于点M 、N ，则BN+MN+MC = B ’N+MN+MC ’ = B ’C ’， BN+MN+MC 的最小值就是B ’C ’的值∵∠BAC ’ = ∠BAC ，∠CAB ’ = ∠CAB ∴∠B ’AC ’ = 60° ∵AC ’ = AC ，AB ’ = AB ，AC = ABFPB'EＡＣＢ51x8-xFE'B D A E C21x4-xFB D A E C'ＣERQP 2P 1AOBPN M CB∴AC ’ = AB ’∴△AB ’C ’是等边三角形 ∴B ’C ’ = 209．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 因为点C 关于直线AD 的对称点是点B ，所以连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 =(33)2 + 12 = 27(四)正方形类10．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小故作点D 关于AC 的对称点B ，连接BM ， 交AC 于点N 。

则DN ＋ＭＮ＝BN ＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN ＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０故DN ＋ＭＮ的最小值是１０11．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．2 3B ．2 6C ．3D ． 6即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小.点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P ， 则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 312．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.即在AC 上求一点P ，使PB+PQ 的值最小因为点B 关于AC 的对称点是D 点，所以连接DQ ， 与AC 的交点P 就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ 故DQ 的长就是PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2根据勾股定理，得，DQ = 513．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；连接AE ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值 在直角△ABE 中，求得AE 的长为5 514．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172 B 、17174 C 、 17178 D 、3作点A 关于BC 的对称点A'，连接A'D ，交BC 于点P 则A'D = PA'+PD = PA+PD.A'D 的长就是PA+PD 的最小值(五)一次函数类15．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．16．一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．（六)立体图形xBAABCCB17．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。

问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

析：展开图如图所示，作A 点关于杯口的对称点A ’。

则BA ’=92 + 122 =15厘米18．一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？展开图如右图所示，作点B 关于CD 的对称点B ’，连接AB ’，交CD 于点P ，则蚂蚁爬行路线A →P →B 为最短，且AP+PB = AB+PB ’， 在直角△AEB ’中，AE = CD = 12，EB ’ = ED + DB ’ = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB ’ = 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm两点之间距离最短19．如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长.(2)①连接AC ，交BD 于点M ，则AM+CM 的值最小②连接CE 交BD 于点M ，则AM+BM+CM 的值最小 ∵AM=EN ，BM=NM ，∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC 根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC 最短(3)过点E 作CB 的延长线的垂线，垂足为F 设正方形ABCD 的边长为2x 则在直角△BEF 中，∠EBF=30°，所以，EF=x ，根据勾股定理：BF= 3x 在直角△CEF 中，根据勾股定理： CE 2 = EF 2 + FC 2 得方程： ( 3 + 1)2 = x 2 + ( 3x +2x)2 解得：x =22所以：2x = 2 （六）.垂线段最短型20．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．作点B 关于AD 的对称点B'，过点B'作B'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B'E 的长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 421．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值作AB 关于AC 的对称线段AB'，过点B'作B'N ⊥AB ，垂足为N ，交AC 于点M ，则B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是MB+MN 的最小值。