a b
A
B
M
D C 图 6
a b
P
M
图5 l
B
图1
A
巧借轴对称求最短距离
大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题.
例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库. ⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？
分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求.
解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置. ⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置.
例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. ⑴求到河边饮水的最短路线.
⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图.
分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要. ⑴可抽象为点M 到直
图4
P
l
B
图2
A
C
A
D
l
B
图3
A
线a的最短距离. ⑵可抽象得到这样的数学模型：直线a、b间有一点M，试分别在a、b 上求出两点，使M点与这两点构成的三角形的周长最短. 要求周长最短，即要求三条线段的和最小，结合题意，可利用轴对称的性质转化为两点之间线段最短的问题.
解：⑴如图5，过点M作MA⊥a于A，MA即为最短路线.
⑵如图6，分别作点M关于a、b的对称点A、B，连接AB分别交a、b于点C、D，则最短的牧马路线为：M→C→D→M.
点评：⑴利用垂线段最短获解. ⑵中点A、M关于直线a对称，则可得到CA＝CM，同理DM＝DB，所以MC＋CD＋DB＝AC＋CD＋DB，这实际上将ΔMCD的周长，即三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线a、b的交点即为所求的两点.。