·基本代数：学习以位置标志符（place holders）标记常数和变数的符号，与掌 控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。（通常也会 涉及到中等代数和大学代数的部分范围。）
·抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等。这些代数结构是在集合 上定义运算而来，而集合上的运算则适合某些公理。
·逻辑代数：又称“布尔代数”、“开关代数”。研究逻辑问题的一门数学。是现 代数学中的一个重要分支。由英国数学家布尔提出。其逻辑变量的取值仅为“0” 和“1”。基本逻辑运算有“与”、“或”、“非”等。是设计计算机的有力工具。
几何学（geometry）
是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。几何是近代数学的两大领域之一， 另外一个是研究数量关系的领域。现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大 幅提高，并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合，很多分支几乎无法认出是从早 期的几何学传承而来。
另：韦达在其《分析引论》中第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，有不 同的字母代表已知量和未知量。他把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了 算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体 的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为 广泛。
代数大致分为以下几类：
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·线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。代数学的一个分支。早期研 究线性方程组的解法，后来拓展为研究一般向量空间的结构，以及线性变换的标 准形式和不变量等。不仅在其他数学分支，而且在物理学、经济学和工程技术等 方面都有广泛的应用。
·泛代数：讨论所有代数结构的共有性质。
·计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的演算法。
数学分支
2009-07-09
算术
研究自然数（正整数）、分数、小数的简单性质，及其加、减、乘、除、乘方、 开方运算法则的一门学科。是数学中最基础的部分。由算术进一步发展起来的是 代数学和数论。中国古代将数学和数学书也统称为算术。
数论
数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。--卡尔·弗里德里希·高斯 数学的一个分科，主要研究正整数的性质及其有关的规律。按研究方法的不同， 大致可分为初等数论﹑代数数论﹑几何数论﹑解析数论等。
·组合数论：利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理 的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。
代数学
数学的一门重要分科。由算术发展而来。用字母表示数，研究数和字母以及字母 表达式的运算和变换。早期代数学围绕求解代数方程和方程组而展开，主要包括： 方程根的个数及分布，方程可解性的条件，方程根与系数的关系等。19 世纪后 期，代数学的研究对象扩大到向量、矩阵等更一般元素的运算规律，并采用公理 化的方法，探究群、环、域等抽象代数结构的本质特性，从而形成近世代数学（又 称抽象代数学）。
·欧几里得几何：简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前 3 世纪，古希 腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究 图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧 氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识， 导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何” 与“立体几何”。
·代数数论：引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了 更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有 相当关联，比如类域论（class field theory）就是此间的颠峰之作。
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பைடு நூலகம்
·算术几何：研究有理系数多变数方程组的有理数点，其结构（主要是个数）和 该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系，有名的费玛猜想，Mordell 猜想， Weil 猜想，和七个一百万问题中的 Birch-Swiner-Dyer 猜想都属此类
数论是纯粹数学的分枝，专门研究整数的性质，产生了很多一般人也能理解而又 悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想。很多诸如此类的问题虽然形式上十分初等， 但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数 学的发展，催生了大量的新思想和新方法。
数论分支
·初等数论：意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工 具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理、费马小定理、二次 互逆律等等。
·解析数论：借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分 为积性数论与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数 分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加 性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著 名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
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数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符 号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对 于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。 模型论：是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者 说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既 存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一 组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。 证明论：是数理逻辑的一个分支，它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而 通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表 达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因 此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论， 公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。 递归论或可计算性理论：是一个数理逻辑分支。它起源于可计算函数和图灵度的 研究。它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中， 这门理论同证明论和能行描述集合论（effective descriptive set theory）有所重叠。 公理化集合论：是数学的一个分支。在数学中，公理化集合理是集合论透过建立 一阶逻辑的严谨重整，以解决朴素集合论中出现的悖论。集合论的基础主要由德 国数学家格奧尔格·康托尔在 19 世纪末建立。 范畴论：是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论。有些人开玩 笑的称之为“一般化的抽象的胡说”。范畴论出现在很多数学分支中，以及理论 计算机科学和数学物理的一些领域。
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·几何数论：主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最 著名的定理为 Minkowski 定理。
·计算数论：借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密 码学息息相关的话题。
·超越数论：研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究 尤其令人感到兴趣。
·解析几何：用代数方法解决几何学问题的学科。解析几何中，用坐标表示点， 用坐标间的关系表示和研究空间图形的性质。
数理逻辑与数学基础：递归论，模型论，证明论，公理集合 证，数理逻辑范畴论
数理逻辑：亦称“符号逻辑”。狭义指用数学方法研究数学中的演绎思维以及数 学基础的学科。广义指一切用符号和数学方法处理和研究演绎法的学问。既是数 学的一个分支，又是逻辑学的一个分支。数理逻辑对数学研究和工程技术有重要 意义，对一般思维中某些问题的解决也有成效。