Wm1 LI 2 / 2
13
5.长为L的金属棒置于一无限长直电流I的磁场中，设金 属棒与长直电流共面，并在此平面内绕其一端O以匀角 速度ω 旋转，O端距直导线为d，如图所示。试求棒转至 下述两种位置时的感应电动势：(1)转至OA位置（θ ＝ 0）；(2)转至OB位置（θ ＝π /2）。 解:(1)棒上各处的磁感应大小：
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0 I B 方向垂直纸面向内。 I 2d 1 (v B) dl vBdl
l l
A
d
O

v
B

l
0
0 I 0 Il ldl 2d 4d
2
方向OA。
14
(2)如图建立坐标系， 线元dx处的磁感应强度为：
B
2 (d x)
0 I
对②杆利用法拉第电磁感应定律，有：
dm d dB 1 ( B dS ) S dt dt S dt

R 2 dB
8 dt
方向如图所示
6
5.半径为R的圆形电容器某一时刻的放电电流为I0，此 I0 时圆形电容器内的位移电流密度jd= ；圆形 2 R rI 0 电容器内离中心r(r<R)处的磁场强度H= ， 2 2 R 方向 与I0组成右手系 。
根据法拉第电磁感应定律有:
×
3
3.二线圈自感系数分别为L1和L2、互感系 数为M。若L1线圈中通电流I1，则通过L2线 圈中的磁通量 m 2= MI 1 ， 通过L1线圈中的磁通量 m1 ＝ 分析：
L1 I 1
。
m2 L2 I 2 M 21I1 L2 0 MI1 MI1
比较两个结果得： M 12 M 21
12
4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，二 者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质 和金属的r均可取作1，求此电缆通过电流I(由中心圆柱 流出，由圆筒流回)时，单位长度内储存的磁能，并通过 和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。
大学物理规范作业
总（37）
单元测试四（电磁感应）
1
一、填空题 1.载有恒定电流I的长直导线旁有一半圆环导线cd,半圆 环半径为R,环面与直导线垂直,且半圆环两端点连线的 延长线与直导线相交,如图。当半圆环以速率v沿平行于 直导线的方向平移时 ,半圆环上的感应电动势的大小 u0 I aR v ln 是 。 2 (a R)
Id I0 解: I d I 0 j d S R 2 根据安培环路定律 H dl I 0
L
I0 2 H 2r r 2 R
rI 0 H 2R 2
方向与I0组成右手系
7
二、计算题 1.发电机由矩形线环组成，线环平面绕竖直轴旋转。此 竖直轴与大小为2.010-2T的均匀水平磁场垂直。环的 尺寸为10.0cm 20.0cm,它有120圈。导线的两端接到 外电路上，为了在两端之间产生最大值为12.0v的感应 电动势，线环必须以多大的转速旋转？
11
0 I 2 当直导线通有电流I2时,其周围的磁场为： B2 2r
通过螺绕环截面积的磁通量为：
12
R2
R1
0 I 2 h R dr 0 I 2 h R2 B2 hdr ln 2 R r 2 R1
2 1
12 N12 0 Nh R2 M12 ln I2 I2 2 R1
2
2.一限定在半径为R的圆柱体内均匀磁场，其大小以恒 定的变化率变化，位于圆柱体内离轴线R/2处的质量为m、 带电量为Q的带电粒子的加速度大小是a，则该磁场随时 间的变化率|dB/dt|=_____________ 4ma/RQ 。
dB 解： 设 C (C为常数), dt
× E感
×
2 dB R dB 方向如 2 Eb 2b R , Eb 图示。 dt 2b dt
5
对①杆利用法拉第电磁感应定律，有：
dm d dB 1 ( B dS ) S dt dt S dt
a 2 dB 2 dt
方向如图所示
1 2
2 R1 N 0 N 2 h R2 因此自感系数为 L ln I I 2 R1

0
ln
2
(2)直导线可以认为在无限远处闭合,匝数为1.螺绕环通 过电流I1时,通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线 回路的磁链. 因此
0 Nh R2 21 1 0 NI1h R2 M 21 ln / I1 ln I1 I1 2 R1 2 R1
ab Nb
0 I b
2 Rb
N a Sa
由此得两线圈的互感系数为：
ab 0 N a N b S a M Ib 2 Rb 7 4 4 10 50100 4.0 10 6 6.3 10 ( H ) 2 0.2
9
(2)
dba dia 1 dba 1 M dt Nb dt Nb dt 1 6.3 10 6 (50) 3.110 6 (Wb / s) 100
(3)
ba
dia M dt
6.310 (50) 3.110 (V )
10
6
4
3.如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。（1） 求此螺绕环的自感系数；（2）沿环的轴线拉一根直导 线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否 相等？ 解：(1)可求得电流为I时环截面积的 磁通量为: NIh R
a 2 dB 2 dt
R 2 dB ；图中所示杆①和杆②的 2b dt 2 dB
；在离轴线b(b>R)的b处的感生 ； 2 =
R
S
B dS t
8
dt
。
在离轴线a(a<R)的a处
dB a dB 2 Ea 2a a , E a dt 2 dt
在离轴线b(b>R)的b处
解: 线环转动时，
εmaNBS
12.0 2 2 120 2.0 10 0.1 0.2
40(S 1 )
8
2.一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0 cm2， 放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线 圈b的中心，两线圈同轴。求：（1）两线圈的互感系数； （2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b 内磁通量的变化率；（3）线圈b的感生电动势。 解：(1)线圈b通电流时, 由于线圈a的半径较线圈b的半 径甚小, 所以可近似求得线圈a通过的磁链为：
m1 L1I1 M12 I 2 L1I1 M I 2 L1I1
4
4.在半径为R的圆柱形区域内，磁感应强度保持均匀，
dB 并以 的速率增加，则在离轴线a(a<R)的a处的感生电 dt a dB
场的大小Ea= 感应电势1=
l
2 dt 电场的大小Eb =
解: E dl
×
dB × × dt
×
× × × 回路 dB 方向 E感 dl dS dt 2 1 R R 即 E感 2 C 可得 E感 CR 4 2 2 dB 4m a 依题意可知 F E感Q ma 解得 C dt RQ
6.一个边长为1．22m的方形平行板电容器，充电瞬间 电流为Ic＝1.84A求此时 (1)通过板间的位移电流； (2)沿虚线回路的 H d l(虚线回路为边长为61cm的正 方形)
解：1）由全电流连续性原理Io=1.84A 2)
ID j 2 l
ID 2 H dl js l 2 l1 0.46( A)
B2 解: Wm1 20 dV R 0 I 2 1 R 0 Ir 2 ) 2rdr 1 ( ) 2rdr 1 0 ( 2 R 2 0 2R1 2r 0 I 2 1 R2 ( ln ) 4 4 R1
1 2 1
0 1 R2 单位长度电缆的自感系数为：L ( ln ) 2 4 R1
解： 如图所示构构造回路，
运动过程中，穿过该回路的磁通 量保持不变。
cd dc cd
B
vB
cd dc 0
a R
由于速度的方向与磁感应强度的方向垂直，
a R u0 I aR u0 I ln dr v cd cd (v B) dl v 2 (a R) 2 r a R aR
I
d
O
x dx
v
B
2 (v B) dl vBdl
l
方向垂直纸面向内。
x
0 I x dx 0 2 ( d x) 2
l
0 I
l

l
0
xdx dx
0 I d l (l d ln ) 方向OB。 2 d
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