阿波罗尼定理之逆定理的一个证明
宁夏回族自治区固原市五原中学 马占山 (756000)
阿波罗尼定理之逆定理 如果一个凸四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是平行四边形．
笔者在数学中国几何天地网站论坛中得知该定理历史悠久，2004年李明波先生给出了证明． 本文给出这个定理的证明.为证定理,在此首先给出一个几何命题.
命题 在ABC ∆中,点D 是边BC 的中点,则 )41(22222BC AD AC AB +
=+. 证明:过点D 作BC DF ⊥于点F .
在,ABE Rt ∆,ADE Rt ∆ACE Rt ∆中
由勾股定理可得:222222222)(DE DE BD AB DE BE AB DE AE AD ++-=+-=+= =DE BD BD AB ⋅--222 (1)
同样有:222222222)(DE DE CD AC DE CE AC DE AE AD +--=+-=+= =DE CD CD AC ⋅+-222 (2)
(1)+(2)得
⇔+-+=)(222222CD BD AC AB AD )4
1(22222BC AD AC AB +
=+ 下面证明给出定理的证明. 已知:四边形ABCD 中BD AC ,是对角线,且满足222222BD AC DA CD BC AB +=+++ 求证: 四边形ABCD 是平行四边形.
证明:。