勾股定理及其逆定理（习题）
例题示范
例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面 3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部 4m 处，这棵树折断之前有多高？
解：如图，由题意，得
AC=3，BC=4，∠ACB=90°
A
在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
由勾股定理，得
AC2+BC2=AB2
∴32+42=AB2
∴AB=5 C B
∴AB+AC=5+3=8
答：这棵树折断之前高 8m．
例 2：如图，在△ABC 中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．
A
C B
证明：如图
在△ABC 中，AB=13，AC=5，BC=12
∵52+122=132
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC 为直角三角形，且∠C=90°．
巩固练习
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC
的长为．
B
C A
2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了 12km，乙往南
走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为．
3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的
面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是（）
A．S l+S2>S3 B．S l+S2<S3
C．S1+S2=S3 D．S12+S2 =S3
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，若其中最大正方形的边长为 7cm，则正方形A，B，C，
D 的面积之和为cm2．
5.如图 1 是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的
长分别为a 和b，斜边长为c．图 2 是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图 1 中的直角三角形有若干个，你能运用图 1 中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．
b b
a a
图1 图2
6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是
A．1.5，2，2.5 B．9，12，15
C．7，24，25 D．1，1，2
7.已知三条线段的长是：
①5k，12k，13k（k>0）；②111
；③32，42，52；
3 4 5
④11，60，61；⑤(m +n)2 -1，2(m +n)，(m +n)2 +1 （m，n
为正整数）．
其中能构成直角三角形的有（）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
8.
如图，在正方形A BCD 中，点E，F 分别在A D，CD 边上，
A D
若A B=4，AE=2，DF=1，则图中的直角三角形共有个． F 9.如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b= ，
c= . B
C
10
15 24
10.如图，一架长 25 米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之
间的距离为 7 米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方
向上滑动了几米？
11.在△ABC 中，AB=10，BC=12，BC 边上的中线AD=8，求AC
的长． A
B D C
12.在△ABC 中，点D是线段BC 上的一点，已知AB=15，AD=12，
AC=13，BD=9．求BC 的长．
思考小结
1.赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的三
角形拼成的，但是在拼的过程中有区别，赵爽弦图的弦在
（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在（填“内”
或“外”），请你画出对应的弦图．
赵爽弦图毕达哥拉斯弦图
2.我们知道3，4，5 是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k 是正整
数）（填“是”或“不是”）一组勾股数；一般地，如果a，b，c（a<b <c ）是一组勾股数，那么a k，bk，ck（k 是正整数）是一组勾股数吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
解：ak，bk，ck（k 是正整数）一组勾股数，理由如下：∵a，b，c 是一组勾股数
∵k≠0
∴k2a2+k2b2k2c2
∴(ak)2+(bk)2(ck)2
∵k 为正整数
∴ak，bk，ck 也是
∴ak，bk，ck（k 是正整数）一组勾股数
C
a b
B c A
【参考答案】
巩固练习
1. 15
2.13 km
3. C
4. 49
5.略
6.D
7. B
8. 4
9. 12，26
10. （1）24 米（2）8 米
11.AC 的长为 10
12.BC 的长为 14
思考小结
1. 直角，外，内
图略
2. 是，是，a2 +b2 =c2 ，=，=，正整数，是。