初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A
邻边
A
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角
铅垂线
水平线
视线
视线
俯角
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示，即
h
i
l
=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5
i=等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan
h
i
l
α
==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
例1：已知在Rt ABC
△中，
3
90sin
5
C A
∠==
°，，则tan B的值为（）
A．
4
3
B．
4
5
C．
5
4
D．
3
4
【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin
a
A
c
=，tan
b
B
a
=
和222
a b c
+=；由
3
sin
5
A=知，如果设3
a x
=，则5
c x
=，结合222
a b c
+=得4
b x
=；∴
44
tan
33
b x
B
a x
===，所以选A．
例2：10
4cos30sin60(2)(20092008)
-
︒︒+--=______．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
10
4cos30sin60(2)20092008)
-
︒︒+--=
3313
41
2222
⎛⎫
⨯⨯+--=
⎪
⎝⎭，
故填
3
2．
:
i h l
=
h
l
α
1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ C ）
A．8米B．83米C．
83
3
米D．
43
3
米
2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ B ）
A．5sin40°B．5cos40°C．
5
tan40°
D．
5
cos40°
3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平
线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ B ）
A．83
3
m B．4 m
C．43m D．8 m
4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡
面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ A ）
A．53米 B． 10米
C．15米 D．103米
5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ D ）A．3 B．5 C．2
5D．
2
2
5
6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯
楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高
BC为米（精确到）.（参考数据：2 1.414
≈3 1.732
≈）
A B
C D
1h
B
7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度.
解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为点D .
则90CDA ∠=°，60CAD ∠=°，30BAD ∠=°，CD =240米.
在Rt ACD △中，tan CD
CAD AD ∠=，
80 3.tan 603
CD AD ∴=
==°
在Rt ABD △中，tan BD
BAD AD
∠=
， 3
tan 30803803
BD AD ∴==⨯
=·°. ∴BC CD BD =-=240-80=160.
答：这栋大楼的高为160米.
8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行请说明理由．
（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）
解：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC=45°
∴AC=BC=AB ·sin45°=222
2
4=⨯
在Rt △ADC 中，∠ADC=30°
∴AD=
2421
2230sin =÷=o
AC
∴AD-AB=66.1424≈-
A
B
C
∴改善后滑滑板会加长约米. （2）这样改造能行，理由如下： ∵989.46233
2230
tan ≈=÷==
o
AC CD ∴07.22262≈-=-=BC CD BD ∴≈＞3
∴这样改造能行.
9
．求值1
012|20093tan 303-⎛⎫
+--+ ⎪⎝⎭°
1.解：原式
= 21333-++⨯6=
10. 计算：0
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°° 2.原式
=231123
⨯
-⨯+-=0．。