九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题１、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图,在R ｔ△A ＢC 中，∠C 为直角，则∠Ａ的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、０°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤９0°时，sin α随α的增大而增大，c ｏs α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性:当0°<α<90°时,ｔan α随α的增大而增大,co ｔα随α的增大而减小。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边ACA90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A８、解直角三角形的定义:已知边和角（两个,其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据:①边的关系：222c b a =+；②角的关系:A+B=９０°；③边角关系:三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)９、应用举例:(1)仰角：视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比）。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角）,那么tan hi lα==。

１0、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、O Ｃ、ＯD 的方向角分别是：45°、1３５°、22５°。

11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东３0°（东北方向) ， 南偏东45°（东南方向)， 南偏西６0°(西南方向)， 北偏西６0°(西北方向)。

１2、解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===２R ． (R 是△ＡBC 外接圆半径)． ② 余弦定理: c 2=a 2+ｂ2－２abCo ｓC ； ｂ2=ｃ2＋a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b ２－2cb ＣosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Ｓi ｎ(１8０-A)＝ s ｉn Ａ, C ｏs(１80－A)= - co ｓA , t ａn （180-Ａ)=－cotA ， co ｔA(1８０-A)=－tanA. ④ S △A ＢＣ=21ａｂsinC=21bcsinA ＝21cas ｉnB ．:i h l=hlα三角函数中考试题分类例题解说一、三角函数的定义例1：(滨州市） 如图1，梯子(长度不变）跟地面所成的锐角为A ,关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ） A.sin A 的值越大,梯子越陡 ﻩＢ．cos A 的值越大,梯子越陡C.tan A 的值越小,梯子越陡 D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关 分析:由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知:锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小,梯子越陡。

因此选A 。

二、利用特殊角的三角函数值计算例4：(辽宁省十二市) 计算:242(2cos 45sin 60)4︒-︒+ 解：23262(2)224=⨯-+原式66222=-+ 2=点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。

三、求线段的长度例5:(云南省) 已知：如图3，在△ＡBC 中,∠B ＝ 45°，∠Ｃ = 60°,AB = 6。

求BC 的长(结果保留根号)．分析:解决此类问题需要根据题意构造直角三角形,在直角三角形中加以研究。

如图4,过点A 作AD ⊥BC 于点D 。

在Ｒt △ABD 中，∠B =4５°,则A Ｄ = B Ｄ。

不妨设AD = x ，又AB = 6，所以有x 2＋ x 2＝ 62，解得x =32，即AD = BD＝32。

在Rt △ＡCD 中，由∠ＡＣD ＝ ６０°得∠CA Ｄ ＝30°而tan ３0°=CD AD ，即32CD3=3,解得ＣD =6。

因此BC = BD + DC =32+6。

下面也是20０7年关于锐角三角函数的中考题,请自己完成。

1、(江西省） 如图5,在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边,若2b a =,则tan A = .２、(大连市)在△ABC 中，∠C=９0°，A Ｂ＝1０cm ，ｓｉｎA=54,则BC 的长为_＿_cm 。

3、(丽水市） 如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米,3cos 4BAC ∠=,则梯子AB 的长度为 米。

4、（天津市）45cos 45sin +的值等于（ ）A ．2B.213+ Ｃ.3Ｄ. 1图1图3图4ACBcb图5图6ABC5、（连云港市)计算:0212sin 45-+6、(岳阳市)计算:10)21()13(---＋|2-3|+ｓi ｎ2４5° ７、(眉山市） 计算：2ｓｉｎ450＋cos300·tan600—2)3(-8、(中山市) 如图７,Ｒt △ABC 的斜边AB=5,cosA=53。

（1)用尺规作图作线段AC 的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写作法、证明)；(2)若直线l 与AB 、AC 分别相交于D 、E 两点,求DE 的长。

答案:１、12。

2、8。

３、4。

4、A 。

５、2。

6、 ＼f （１,2)。

7、－ 错误!。

8、2。

图7AC B一、选择题1．（20０9·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（)A.35B ．43 C.34 ﻩD ．452.(２00８·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，t ａn A ＝13，则ｓi ｎＢ＝（ )A.10 B ．23Ｃ.34ﻩ Ｄ. 3103.（200９·湖州中考)如图，在Rt ABC △中,ACB ∠=Rt ∠,1BC =,2AB =，则下列结论正确的是( )A ．3sin 2A =B.1tan 2A = C ．3cos 2B = D.tan 3B =3 题 4题 ５题4.(20０８·温州中考）如图,在Rt ABC △中,CD 是斜边AB 上的中线,已知2CD =，3AC =,则sin B 的值是( )A ．23ﻩ B ．32ﻩ C.34ﻩD.435(2007·泰安中考)如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =32AB =则tan BCD ∠的值为( ） (A 2 (B ）22 (C 6 (3 二、填空题6.(2０09·梧州中考)在△ABC 中,∠Ｃ=９0°, B Ｃ＝6 cm,53sin =A ，则AB 的长是 ｃm. 7.（200９·孝感中考)如图，角α的顶点为Ｏ,它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P (３，4）,则 sin α= ．ACBD７题 8题8．（2０0９·庆阳中考）如图,菱形A ＢCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积＝ cm 2. 三、解答题9.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中,∠C =90°,sin A ＝54，AB ＝15,求△ABC 的周长和tan A 的值.1０.（200７·芜湖中考)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠,(1) 求证:ＡC=BD ； (2）若12sin 13C =,BC =1２,求ＡD 的长. 一、选择题２.（２００9·长春中考）.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，,则点B 的坐标为( ）Ａ．2， B.(12)， Ｃ.211)， D ．21)，3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高４米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( ） A.８米B.83ﻩ 83 D 43米4.（２008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α,则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 C.︒70 D ．︒80５.（2008·毕节中考） A (ｃos ６０°，-tan ３0°）关于原点对称的点Ａ1的坐标是（ )A.1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C.1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， Ｄ.1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，６.（20０7·襄樊中考)计算：2cos 45tan 60cos30+等于( ）(A)1 （B)2 （C)2ﻩ (D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=____＿_.８.(２0０9·百色中考)如图，在一次数学课外活动中,测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米,钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离ＡB 是 米.（结果保留根号)．10.（20０７·济宁中考)计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是 。

三、解答题１1．（2０09·黄石中考）计算：3-1+(2π-1)0-33ｔａn30°－tan45° 1２.(２00９·崇左中考)计算:0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°.要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题1.(2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高４米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°,否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A.8米B.83 C ．833米ﻩ D.433米 2．（2009·衢州中考)为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据（单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）A．14ﻩ Ｂ.4 C ．117ﻩ D.4173.(2０09·益阳中考)如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离ＡＢ为( ) Ａ. αcos 5 B ．αcos 5C. αsin 5D. αsin 5１题 2题 ３题4．(２009·兰州中考）如图,在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为( ）Ａ.５m B ．６m C.7m D ．8ｍ4题 5题5.（２00９·潍坊中考）如图,小明要测量河内小岛Ｂ到河边公路l 的距离,在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为( )米． A.２5 B ．253 C ．10033D.25253+二、填空题6.(200９·沈阳中考)如图,市政府准备修建一座高ＡＢ＝６m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为错误!，则坡面AC 的长度为 ｍ．7. （2009·南宁中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 _＿＿___＿____＿_海里（结果保留根号)．α5米AB6题7题8题9题8.（２00８·庆阳中考）如图，一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC＝３米,3cos4BAC∠=,则梯子长ＡＢ=米．９.（２007·湖州中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。