u(t) 3.06 109 exp( 0.02t)
由此可以预测1961年以后每年的世界人口。比
如，预测1970年的世界人口(t = 9)为：
u(9) 3.06 109 exp( 0.02 9) 3.66 109
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世界人口分析: u(t) 3.06 109 exp( 0.02t)
五15:00-17:00，dugeguo@
• 网上答疑：在线交流（BB平台-Blackboard/）
考试与成绩评定方式：
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超级关心
• 学期总成绩包括平时成绩和期末考试 成绩两部分组成。平时成绩包括平时
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《数理方程与特殊函数》 课程简介
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杜戈果
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课程名称:数理方程与特殊函数
• 英文名称:Equations of Mathematical Physics and
Special Functions
• 总学时: 54 其中:实验课0 学时
特别是，数学物理方法的知识在量子力学中 十分重要，而量子力学则是当代物理学及所 有相关高新技术的理论基础
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什么是“数学物理方法”？
一个例子: 人口增长规律
英国人口统计学家 Malthus（1766-1834）
在担任牧师期间，利用教 堂所拥有的资料，研究了 100 多年人口出生和死亡 的统计数据。他发现了一 个规律：人口的相对净增 长率是一个常数。于是他 在《人口原理》一书中提 出了一个人口增长模型， 即后来闻名于世的“马尔 萨斯人口模型”。
3. 根据微分方程和相关条 件，求出考察量的解
4. 讨论解的适用条件
数学物理方法的核心
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用数学物理方法处理实际问题:
第一步 它是最重要的一步 也是最困难的一步：
数学物理方程的建立
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建立数理方程的方法
1. 统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分 析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方 程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物 学、生态学、经济学、社会学等。
教学目标：
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• 使学生正确理解和掌握数学物理方程中出现的 基本概念、基本理论和基本方法；了解数理方 程的物理来源与有关概念的物理解释，并能较 熟练的掌握二阶偏微分方程几种主要的求解方 法：分离变量法、行波法、积分变换法和格林 函数法；掌握基本特殊函数的主要性质及其应 用。
• 立足课程教学各个环节，注重培养学生分析、 归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算 的科学方法。为后继课程以及今后从事科学实 践活动中所涉及的有关数学物理问题作铺垫。
• 学 分: 3
• 先修课程: 《高等数学》、《复变函数》、《线性 代数》、《场论》、《大学物理》
• 教 材:《数学物理方法》，顾樵编著，科学出版 社；《数学物理方程与特殊函数》，东南大学数学 系，王元明编，高等教育出版社出版
• 参考教材: 其它参考资料
开卷有益
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• [1] 梁昆淼编.数学物理方法.人民教育出版社 • [2] 复旦大学数学系主编. 数学物理方程.上海科学
性相互作用项-u2）。
du u u2
dt
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什么是数学物理方法？
例子:人口增长问题
du u
dt
(Malthus模型)
u(t) t0 n
u(t) n exp(t)
精确描述线性增长阶段
1. 对实际问题（物理及一 般问题），分析考察量 的变化规律，建立相应 的微分方程
2. 写出考察量所满足的相 关条件
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教学内容:
• 一些典型方程和定解条件的建立 • 分离变量法 • 行波法 • 积分变换法 • 格林函数法 • 贝塞尔函数 • 勒让德多项式
教学手段：
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• 1. 课堂教学包括：课堂讲解、PPT幻灯片课件、 课堂提问、课堂小测验、课后作业及讲评等；
• 2. 答疑：科技楼516-4，26558252（71555），周
马尔萨斯的著名预言：
人口是指数增长的， 而粮食是线性增长的： 若干年之后，有限的 地球资源如何装得下 无限扩展的人类！马 尔萨斯预言：
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Population
Food
Time
“战争和瘟疫是不可避免的！”
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按照马尔萨斯模型:
t 2510 年，u(t) 2万亿
课程介绍：
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• 本课程由“数学物理方程”与“特殊函数” 两大部分内容组成。
• “数学物理方程”主要是讲数学物理方程的 一些基本概念及三种典型的二阶线性偏微分 方程定解问题的一些常用解法，其中包括了 分离变量法、行波法、积分变换法和格林函 数法。在这些解法中，将重点放在数学物理 方程的建立与分离变量法上。
如果将全世界所有陆地和 所有海洋面积计算在内:
0.86m2/人
显然这样一种状况是不可能出现的。马尔萨斯 模型对于人口增长的长期预测是不正确的。
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马尔萨斯模型：问题出在哪？
人口总数不太大时，其增长可以用线性动力 学（指数增长规律）描述。但是人口总数相 当大时，地球上生存环境及生态资源对人口 增长的限制变得越来越显著。马尔萨斯模型 的问题在于没有考虑环境对人口增长的制约 （即没有引入人类与环境的关联机制：非线
技术出版社 • [3] 戴嘉尊编著.数学物理方程.东南大学出版社 • [4] 谷超豪编.数学物理方程.高等教育出版社 • [5] 四川大学数学系编.高等数学.高等教育出版社
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• 国外教材：系统性与缜密性不足 • 国内教材：灵活性与实用性欠缺
• 将中国传统讲授内容与国外先进教材相结合 • 将教学实践与理论知识相结合 • 既为教学所用，又适应科研需要 • 科学性、严谨性、完整性与实用性
2. 微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附 近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达 式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统 的微分方程。
3. 规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵 循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯 韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物 理量的微分方程。
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• “特殊函数”部分，主要是讲贝塞尔函数及 勒让德多项式，其中包括如何从数学物理方 程的定解问题，引出贝塞尔方程与勒让德方 程、解的表达式、贝塞尔函数和勒让德多项 式的一些主要性质以及利用这两种函数来解 决数学物理方程的一些定解问题的全过程。
• 两大部分的内容，既有一定的相对独立性， 但从某种意义上讲，又是一个不可分割的有 机整体。
1 du (常数)
u dt
t: 时间 u:人口
Байду номын сангаас
du u
dt u(t) t0 n
u(t) n exp( t)
（指数增长）
由此可以预测未来人口
世界人口分析:
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u(t) n exp( t)
1961年的世界人口(统计数据): n 3.06109
1961年前的增长率(统计数据): 2%
由此还可以推算1961年之前的世界人口，
比如推算1700年的人口(设为W ): 3.06 109 W exp( 0.02 261) W 1.66107
以1700年为初始年份（t=0）,以后的人口增长为：
u(t) 1.66 10 7 exp( 0.02t)
研究者:用马尔萨斯模型对于1700-1994年(约300年)的世界 人口进行了计算,发现与实际统计值非常精确地相符合
记录的出勤情况、课堂提问以及课后 作业等占30％，期末成绩占70％。
怎么学好这门课程？
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• 课堂上专心听讲（积极思考、善于提问） • 课后及时复习，不要积累问题 • 认真完成作业
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数学物理方法的重要性:
数学物理方法是电子学院许多后续课程的基 础(比如:量子力学、电磁波和电磁场、激光 原理、微电子学、光电子学、非线性光学、 信息光学、高等光学等)