所以 d M st et 0 d s f (t ) e d t 0 Mt e d t e 2



由此可见, 上式右端的积分在半平面 Re(s) c1> c内也是绝对收敛且一致收 敛, 从而微分与积分可以交换
13
因此得 d d st F ( s) f ( t ) e d t ds ds 0 d st [ f (t ) e ] d t 0 ds
t 0
t 0

m 1
d t , 0 m
m t 0
G(m 1) e t d t t de
m
t e
m
t 0
e d t e mt
t m t 0 0 t t 0


m 1
dt
mG(m) 而且G(1) e d t e
1 st sin k t e dt sin k t de 0 s 0 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s k s t e cos k tdt 0 s k st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
26
1 当 m 2
时
1 2
令x = u2，我们有
1 x u 2 G x e dx 2 e du , 0 2 0
这就得
1 u 2 v 2 G 2 e du 2 e dv 2 0 0 2
0
1
15
因此如m为正整数G(m 1) m!
例2.4 求幂函数f(t)=tm (常数m>1)的拉氏积 分 m st

0
t e dt
为求此积分, 若令st =u, s为右半平面内任一复 数, 则得到复数的积分变量u（u为复数）. 因 此, 可先考虑积分

R
0
t e dt
F ( s)


0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.
10
Mect f(t) M
O
t
11
证 由条件2可知, 对于任何t 值(0 t < ), 有 |f (t) est|=|f (t)|ebt Me(bc)t, Re(s)=b, 若令bc e>0 (即b c +e =c1>c), 则 |f(t)est|Meet. 所以
m st
sR
0
u u d u e s s u e du
m u
m

1 s
j
m 1 0

sR
再设s re ,

2

2
16
积分路线是OB直线段, B对应着 sR=rRcos+jrRsin, A对应着rRcos, 取一 很小正数e, 则C对应se=recos+jresin, D对应recos. 考察R, e的情况. 虚轴
u
e

rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1


t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C

O
1
s
m 1
D
1

v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1

BC
u e du
m
u

s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
第二篇
第 2章
内容要点
积分变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的应用
1
教学要求


正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的 存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换， 正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及 延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在 计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及 查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积 性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分 方程组。 重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。 难点拉普拉斯变换存在定理的证明。
B
C

O
D

v
A
t (实轴)
17
虚轴
B
C

O
1
s
m 1
D
u

v A
t (实轴)
根据柯西积分定理, 有
1 u e d u sm DABCD
m

DA

AB BC
CD
0
18
虚轴
B C

O
1 s
m 1
D
m

1 s 1
m 1
A
v
t (实轴)
u e du
m

DA
u e du
m 1

j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1

rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
（其中α为任意复数） 解 根据定义，


0
e e dt e
t
st 0

s t
dt ,
当 s 时，该积分收敛，且


0
e
s t
1 dt , s
7
例2.3 求正弦函数 f (t ) sin k t 解
st
(k R) 的复频函数



0
f (t ) e
st
dt M e dt
e t 0

M
e
根据含参量广义积分的性质可知, 在 Re(s) c1 > c上拉氏变换的积分不仅绝 对收敛而且一致收敛.
12
在下式的积分号内对s求导, 则
d st st 0 d s f (t ) e d t 0 tf (t ) e d t st ( b c )t et 而 | tf (t ) e | Mt e Mt e
4
2.1.1 拉普拉斯积分
1. 拉普拉斯积分的概念
若时间函数 f(t) 在 t > 0 有定义，则 f(t) 的 拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为
F ( s) f (t )e st dt
0
复频函数
复频率
可以预见，上述积分是收敛的。
5
例2.1 求单位阶跃函数的拉普拉斯积分
e e 0 0 即 0 0
CD
25
故 1 m t 1 m u t e d t m 1 u e d u 0 m 1 0 0 s s 1 m u 1 m t 即 m 1 u e d u m 1 t e d t 0 0 s s G(m 1) s m 1 G(m 1) m st 0 t e d t s m1 (Re( s) 0) m! m st 当m为正整数时, t e d t m 1 (Re( s ) 0) 0 s
2
2.1 拉普拉斯变换的概念
由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分 存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克 雷条件；(2)在无限区间 (, )上绝对可积．而傅氏变换 存在两个缺点． 缺点 1 ：条件 (2) 过强．在实际应用中，许多函数不能 满足条件(2)． [案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄 利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行 古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ 函数， 在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ 函数使用 很不方便.
22
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v m 2
1 m 1 |s|

rR |sin |
0
e
rR cos
2 ( r R cos v ) dv 2 2 2
23
2 令 v rR cos tan , d v rR cos sec d | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d 上式 m 1 0 e |s| | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d m 1 e 0 |s|
st
1 1 1 s 2 2 2 s jk s jk s k
(Re( s) Re( s) .对实的k这表示 Re( s) 0 ）9
2. 拉普拉斯积分存在定理
定理2.1 若函数f(t)满足: 1, 在t 0的任一有限区间上分段连续 2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数 函数, 即存在常数M >0及c0, 使得 |f(t)| M ect, 0t< 则f(t)的拉普拉斯积分