2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
T 2
a0
cos nt dt
2 T 2
T
am
2 cos mt cos nt dt
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt cos nt dt
T
m1
2
an
T 2 T 2
cos2
nt
dt
an
T 2
即
an
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
b
F( ) a f (t)K (t, )dt.
其中,K (t, )是一个确定的二元函数,称为积分变换的核.
A中的函数f (t)
B中的函数F ( )
当K (t, ) e jt时
Fourier变换
当K(t,) est时
2、1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热 在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学 在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理 论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三 角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。
二、Fourier 级数或变换的应用领域
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:
T
T
2 cos nt d t 2 sinnt d t 0 (n 1, 2, 3, ),
T
T
2
2
T
2 sin2 nt d t
T 2
cos2Biblioteka ntdtT
(n 1, 2, 3,
),
T 2
T 2
2
T
2 sinnt cos mt dt 0 (n, m 1, 2, 3, ), T 2
fT (t)
a0 2
(an cos nt
n1
bn sin nt)
(1.1)
其中 2p , T
2 a0 T
T
2 T
fT (t)d t
2
an
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
(n
1,2,
2
)
2
bn T
T
2 T
fT (t)sin nt dt
2
(n 1,2,
)
fT (t)
研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时， 把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
Laplace变换
f (t)称为象原函数, F( )称为f (t)的象函数,
在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 Fourier变换 象函数的
方程
代数方程
第一节 Fourier积分
一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开 三.Fourier积分定理
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f (t) tg t
存在第二类间断点； f (t) sin(1) t 在靠近 0 处存在无限多个极值点；
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n1
(1.1)
为求出a0 ,计算[ fT ,1],即
T 2 T 2
fT (t) d t
T 2
a0
dt
2 T 2
(an
n1
T
2 T
cos
nt
d
t
bn
2
T
2 sin
T 2
nt d t)
a0 2
T
即
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介
法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
主要贡献 1、在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年 向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出着名 的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以 由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函 数都可以展成三角函数的无穷级数。
2 T
T
2 T
fT (t)cos nt dt
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T
2 T
fT (t)sin nt d t
2
T 2
a0
sin nt d t
2 T 2
T
am
2 cos mt sin nt d t
T
m1
2
n
T
bm
2 sin mt sin nt d t
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅，=2p/T 称为角频率，j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost
的线性组合
Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
T
m1
2
bn
T 2 T 2
sin 2
nt dt
T
2 sinnt sinmt d t 0 (n, m 1, 2, 3, , n m), T 2
T
2 cos nt cos mt dt 0 (n,m 1, 2, 3, , n m), T 2
一. Fourier级数 1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点