-0.024333019845132 0.023336467261016 0.012679528611304 -0.039871378912005 对应的角速度： w=
7
0.213433620927854
-0.942550795134078
即：
1 2
0.2134rad / 0.9426rad
cos1 sin 1
a2 a2
cos(1 2 ) sin(1 2 )
z 0
（1）
3.2 建立机器人的速度关系及推导出雅可比矩阵
对（1）式进行求一次导，可得机器人末端的速度关系
vx v y
a1 sin 1 a2 sin(1 2 ) a1 cos1 a2 cos(1 2 )
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
机器人技术基础
三级项目报告
设计题目： 指导教师： 学生姓名： 学 号： 邮 箱： 院 系：
两自由度串联机器人分析与设计
赵永杰
citycars 09128888 citycars@ 机械电子工程系
汕头大学 机械电子工程系
2012 年 6 月 17 日
三级项目报告—刘柳权--09124055
3
2.运动学模型
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图 1 平面两自由度串联机械人
如图 1 所示，为一平面两自由度串联机械人，由两个关节组成，两连杆长度 分别 a1 和 a2，两旋转关节轴平行，关节 1 运动范围为 0-180。，关节 2 运动范围 为-135。~135。，机器人连杆的设计参数如表 1 所示。
表 1：平面两自由度串联机器人连杆的设计参数
i
关节变量角度
连杆长度
1
1
0-180。
800mm
2
2
-135。~135。
500mm
4
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3.机器人的位置及速度分析
3.1 建立机器人位置输入输出方程
如图 1 所示，建立关节坐标位置关系，建立其末端位置方程
x
y
a1 a1
s /s
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此结果表示为，机器人杆长 a1=800mm，a2=500mm，末端位置在（100，1000）
时，要求末端的运动速度为
vx v y
20 30
所对应的1
、2
的角速度。
通过以上式子，可以通过反解求出在机器人末端所能到达的工作位置上，给
定目标位置及运行速度，求解出所对应的关节控制参数，即1 、2 的角速度，从
结果表明： 1 0.956868853015502/ 180 54.82 2 1.420228053071181/ 180 81.37 exitflag = 5 ，表明迭代程收敛性，结果有效。
6
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对应于反解得到的1 、2 ，在设计参数范围内，有效。 机器人末端位置误差为 fvag =1.705426440094345e-011，在一般工业应用场景 下，误差约等于 0，满足使用要求。
而达到控制机器人完成目标动作的目的。
4.机器人的速度各项同性分析及设计
4.1 速度各项同性分析
对于两自由度串联机器人，其中重要的一项指标是各向同性，各向同性的机 器人其灵巧程度是最好的。在设计其机械结构时，应尽量使其各向同性。对于两 自由度串联机器人，其速度各向同性的条件推导如下：
8
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a22 s12c12
（8）
9
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（8）式中： s1 sin1 ， s12 sin(1 2 ) ， c1 cos1 ， c12 cos(1 2 )
对于平面两自由度串联机器人，其各向同性的条件为求得的其雅可比矩阵与 雅可比转置矩阵乘积为对角矩阵，即（8）式，当A矩阵中A11=A22，A12=AA21=0 时为对角矩阵。通过以上所给结论，可以分析平面两自由度串联机器人的速度各 向同性，同时也给出了满足各向同性构型的算法。
3.4 机器人的速度反解
给定机器人末端运动速度
vx v y
20 30
根据式（2）、（3）
vx v y
a1 sin 1 a2 sin(1 2 ) a1 cos1 a2 cos(1 2 )
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
12
J
a1 sin1 a2 sin(1 2 ) a1 cos1 a2 cos(1 2 )
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
12
（5）
由（5）式得出其雅可比矩阵为：
J
a1 sin1 a2 sin(1 2 ) a1 cos1 a2 cos(1 2 )
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
（6）
由（6）式得雅可比矩阵的转置矩阵为：
JT
a1
sin1 a2 sin(1 a2 sin(1 2 )
目录 1.前言...........................................................................................................3 2.运动学模型.............................................................................................. 4 3.机器人的位置及速度分析...................................................................... 5
12
由（2）式可得出其雅可比矩阵为
J
a1 sin1 a2 sin(1 2 ) a1 cos1 a2 cos(1 2 )
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
（2） （3）
3.3 机器人的位置反解
根据机器人杆长及运动范围，给定机械人末端能够到达的位置，求出相应的 1 和2 。给定机器人末端位置
3.1 建立机器人位置输入输出方程....................................................5 3.2 建立机器人的速度关系及推导出雅可比矩阵........................... 5 3.3 机器人的位置反解........................................................................ 5 3.4 机器人的速度反解........................................................................ 7 4.机器人的速度各项同性分析及设计......................................................8 4.1 速度各项同性分析........................................................................ 8 4.2 速度各向同性设计求解..............................................................10 4.3 求解及分析.................................................................................. 10 4.4 综合分析...................................................................................... 12 5.结语.........................................................................................................13 6 附录........................................................................................................13 附录 1：位置反解程序...................................................................... 14 附录 2：速度反解程序...................................................................... 15 附录 3：速度各向同性程序..............................................................15
2
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两自由度串联机器人分析与设计
【摘要】 通过建立两自由度串联机器人位置输入输出方程，建立两自由度串联 机器人的速度关系，推导出雅可比矩阵，分析两自由度串联机器人的速度各向同 性的条件，设计出一各向同性的构型。 关键词 位置方程 速度关系 雅可比矩阵 各向同性
a2 sin(1 2 a2 cos(1 2 )
可得
1 2
vvxy
J
T
，
利用 MATLAB 求解，结果如下：
雅可比矩阵：
Jac =
-59.130410988495868 -34.608657583898840
-18.804108570748898 -36.086573960968380
雅可比广义逆矩阵： Jacg =
100 0 p 1000
0 由式（1），利用 MATLAB 数学工具软件进行求解： 迭代过程：