称 Δ ( s, Hi ) 为顶点多项式。
问题：如何检验 Δ (s, H) 的鲁棒稳定性？
猜测： （1） 扩展为区间多项式族，应用 Kharitonov 定理? （2） 判断所有顶点多项式的稳定性?
例：考虑下图所示系统的鲁棒稳定性。
Nc (s)
Dc (s)
K
其中
Nc (s) =1+ s − s2 Dc ( s) = 1+ 2s + 4s2 + s3 k ∈[1,3] = K
Δ (s, K ) = Dc (s) + KNc (s) = conv (Δ (s, 0.1), Δ (s,1))
Δ ( s, 0.1) = 10s3 + s2 + 6s + 0.57 Δ ( s,1) = 10s3 +1.9s2 + 7.8s +1.47
Δ (s, 0.1) ——稳定 Δ (s,1) ——稳定 Δ (s, 0.5) ——不稳定
●
K1 ( jω )
●
K4 ( jω )
Re
注意：此平行四边形的边永远平行于实轴或 jω 轴。
因已假设 Ki ( s) （ i = 1, 2,3, 4 ）稳定，由排零原理知，如果： 0 ∉P ( jω,Q)
则P (s,Q) 鲁棒稳定。
现反设：存在某ω0 ∈ R ，
0 ∈ P ( jω0,Q) 因 Ki (s) （ i = 1, 2,3, 4 ）均是稳定的，由 Mikhainov 引理知，随着 ω : 0 → ∞ ，
则 Δ (s, K ) = (1+ K ) + (2 + K ) s + (4 − K ) s2 + s3 扩展为区间多项式族：
Δ (s,Q) = [2, 4] + [3,5] s + [1,3] s2 + s3
其中 4 + 3s + s2 + s3 ——不稳定。
但对应于 Δ (s, K ) 的 Routh 表为：
(
s
)
=
K
∏
i =1
(
s
−
zi
)
,
K∈R,源自Rezi<0,
则
n
arg P ( jω ) = arg K + ∑ arg ( jω − zi ) i =1
● Pathwise 连通：集合 X ∈ Rn 称为 Pathwise 连通， if 对 ∀x0x1 ∈ X ， ∃ 连续函
数φ :[0,1] → X, s.t. φ (0) = x0,φ (1) = x1
1
2+K
1
4−K 1+K
[1, 3]
7 + K − K2 0 ⇒ [1, 7] > 0
1+ K
[2, 4]
∴ Δ (s, K ) 鲁棒稳定。
• 扩展为区间多项式族 + Kharitonov 定理 ⇓
保守，仅能作为充分条件
Δ (s,K ) = conv(Δ (s,1), Δ (s,3))
( ) = conv 2 + 3s + 3s2 + s3, 4 + 5s + s2 + s3
证：（1）必要性显然，因 Ki (s) ∈P (s,Q) ， i = 1, 2,3, 4 。
（2）充分性：
设ω ≥ 0 ，则
max q∈Q
Re
P
(
jω,
q)
=
q0
−
q2ω 2
+
q4ω 4
−
q6ω 6
+
= Re K3 ( jω ) = Re K4 ( jω )
max q∈Q
Im
P
(
jω ,
q)
=
q1ω
p0T
⎞ ⎟ ⎟
h
+
⎛ ⎜ ⎜
a00
⎞ ⎟ ⎟
=
Ph
+
a0
⎜⎝ an (h) ⎟⎠ ⎜⎝ pnT ⎟⎠ ⎜⎝ an0 ⎟⎠
∴ a :h → a(h)
H → a(H)
立方体 ⇒ 凸多面体
(box )
(convexpolytope)
●凸组合：
∑ ∑ conv(ti ,i = 1,
), k
=
⎧ ⎨ ⎩
k i =1
∴P ( jω,Q) = conv ( K1 ( jω ), K2 ( jω ), K3 ( jω ), K4 ( jω ))
= Rectangle( Ki ( jω ),i = 1, 2, 4)
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
Im K2 ( jω ) ●
K3 ( jω ) ●
P ( jω,Q)
K1 ( s) = 11+ 9s + 8s2 + 6s3 + 3s4 + s5 K2 ( s) = 11+10s + 8s2 + 5s3 + 3s4 + 2s5 K3 ( s) = 12 +10s + 7s2 + 5s3 + 4s4 + 2s5 K4 ( s) = 12 + 9s + 7s2 + 6s3 + 4s4 + s5
λiti
,
k i =1
λi
= 1,
1 ≥ λi
≥
0⎫⎬ ⎭
( ) 设 Η 的顶点为 Hi i = 1, 2, , 2L ，则
( ) Η = conv Hi ,i = 1, 2, , 2L
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
a (H) = conv (a ( Hi ),i = 1, 2, ) , 2L ( ) Δ (s, H) = conv Δ (s, Hi ),i = 1, 2, , 2L
= (s + 1) ⎡⎣s2 + h2s + h3 ⎤⎦ + 2( s + h1 )
= s3 + (1 + h2 )s2 + (2 + h2 + h3 )s + 2h1 + h3
例：考虑
C
(s)
=
Nc Dc
(s) (s)
=
2 s+1
G
(
s,
H
)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
f g
( s, ( s,
h) h)
h
∈
H
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎪⎧ ⎨ ⎩⎪
s2
s + 3h1 + 5h2
+ (2 + h1 + 4h2 ) s + 2h2
h ∈ H⎪⎬⎫ ⎭⎪
则闭环系统特征多项式为：
Δ (s, h) = Dc (s) g (s, h) + Nc (s) f (s, h)
= (s +1) ⎡⎣s2 + (2 + h1 + 4h2 )s + 2h2 ⎤⎦ + 2 ( s + 3h1 + 5h2 )
10 ai (q) 是参数（向量） q 的连续函数；
20 q 在有界的 Pathwise 连通集 Q 上取值；
30 an (q) ≠ 0,∀q ∈Q ；
( ) 40 ∃q0 ∈ Q, s.t. P s, q0 为稳定的。
则多项式族P (s,Q) = {P (s, q) q ∈Q}为鲁棒稳定的，即对 ∀ q ∈Q ， P (s, q) 均为
K1 ( jω1 ) − K4 ( jω1 ) 边上。
Im
K2 ( jω1 ) ●
K3 ( jω1 ) ●
P ( jω1,Q)
●
K1 ( jω1 ) 0
Re
●
K4 ( jω1 )
但因 K1 ( s) 和 K4 ( s) 均为稳定的，由 Mikhainov 引理知，当ω 从ω1 增加时， K1 ( jω ) 应进入第三象限，而 K4 ( jω ) 应进入第一象限，这使得 K1 ( jω ) − K4 ( jω ) 边不平行于实轴了，这与 Im K1 ( jω ) = Im K4 ( jω ) 相矛盾。故，
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例：考虑
C (s)
=
Nc Dc
(s) (s)
=
2 s+1
G
(
s,
H
)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
f g
( s, ( s,
h) h)
h
∈
H ⎫⎪⎬ ⎪⎭
=
⎪⎧ ⎨ ⎩⎪
s2
s + h1 + h2 s + h3
h ∈ H⎪⎬⎫ ⎭⎪
则闭环系统特征多项式为：
Δ (s, h) = Dc (s) g (s, h) + Nc (s) f (s, h)
−
q3ω 3
+
q5ω 5
−
q7ω 7
+
= Im K2 ( jω ) = Im K3 ( jω )
min
q∈Q
Re
P
(
jω ,
q)
=
q0
−
q2ω
2
+
q4ω
4
−
q6ω
6
+
= Re K1 ( jω ) = Re K2 ( jω )
min
q∈Q
Im
P
(
jω ,
q)
=
q1ω
−
q3ω 3
+
q5ω