似分析系统的性能。
根轨迹意义
概述
线性定常系统的动态性能主要取决于闭环系统特 征方程的根（闭环极点），所以，控制系统的动态 设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增 益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整 一次增益求解一次特征方程。
W.R.伊文思提出了根轨迹法。它不直接求解特征 方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。
(s) G(s) 1G(s)H(s)
G k(s)G (s)H (s)
根轨迹基本概念
闭环特征方程： 1Gk(s)0
将Gk (s) 写成以下标准型，得：
m
kg
传递系数， 或称为根轨迹增益
(s zi )
Gk (s) kg
i 1 n
(s pj)
j 1
m
满足： G k ( s ) 1 或
(s zi )
根轨迹的绘制法则
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则
1． 起点 (Kg 0)
Kg 0 时，闭环系统的特征根由下式决定
n
D(s)(spj)0
j1
上式即为开环系统的特征方程式。所以
极点也就是根开轨环迹极方点程。为：
m
(s zi )
Kg
0
时，闭环
K i1 gn
1
(s p j)
j 1
4.2 根轨迹的绘制法则
整理得
1WK(s)
1Kg
N(s) D(s)
0
[1WK(s)] KgN(s)D(s) 0
D '(s )N (s ) N '(s )D (s ) 0
4.2 根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹图的方法
手工画概略图（草图） 手工图解加计算画准确图
计算机绘制精确图
我们先以根轨迹增益 来讨论根轨迹。
k
g
（当然也可以用其它变量）作为变化量
绘制根轨迹的一般步骤：
（1）求出 Kg 0和 Kg 时的特征根
（2）根据绘制法则大致画出 0Kg 时的根轨迹草图
（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制
Np Nz 5
j
C
B
A
4.2 根轨迹的绘制法则
5． 分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（或会合点）。
在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点， b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。
b
a
4.2 根轨迹的绘制法则
分离点（会合点）的坐标s d 由下列方程所决定
R(s) -
2K 闭环传递函数： (s)s22s2K
特征方程为： s22s2K0 特征根为： s1,21 12K
K
C(s)
s(0.5s 1)
特征根为： s1,21 12K
[讨论]： ① 当K=0时，s1=0,s2=-2,
是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1
由辐角条件
m
n
整理得 ijNzpNppp(12)
i1
j1
Nzp2NppNppp(12)2Npp
NzpNppp[12(p[1Np2)(]p[N 1p )]2(Np)]
Nz Np为奇数
4.2 根轨迹的绘制法则
例如下图所示，
对于A， 对根B， 对根C，
Np Nz 1 (Np1,Nz 0)
Np Nz 3
1
| (s pj ) |
j 1
幅值条件
m
n
(s zi ) (s p j ) ±(2k 1)p , k 0,1,2... 辐角条件
i1
j 1
满足幅值条件和辐角条件的s 值，就是特征方程式的根。
为了尽快把握绘制根轨迹的要领， 请牢记：
绘 制 根 轨 迹 ---- 依 据 的 是 开 环 零 极 点分布，遵循的是不变的辐角条件， 画出的是闭环极点的轨迹。
第4章 根轨迹法
第4章 根轨迹法
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结
第4章 根轨迹法
学习重点
❖ 了解根轨迹的基本特性和相关概念； ❖ 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根
轨迹的分类原则； ❖ 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练
地应用到根轨迹的绘制过程中； ❖ 学会应用主导极点、偶极子等概念近
2. 终点 (Kg )
Kg 时，闭环系统的特征根由下式决定
m
N(s)(szi)0
i1
上式表明，当 零点。
Kg
时，闭环极点也就是开环有限
今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极

点的位置根，轨尚迹有方n程-m为个：闭环m 极( s点，z i随) 着
向无限远（无限零点）。
i n
1
(s p j)
k g×
i 1 n
1
(s pj)
j 1
的点就是闭环系统 的极点，闭环特征方程的根。
根轨迹的幅值和辐角条件
m
(szi)
称Gk(s)1或：kg
i1 n
1为根轨迹方程。
(spj)
j1
由于Gk (s)是复数，上式可写成：| Gk (s) | Gk (s) 1
m
或
| (s zi ) |
k
×
g
i1 n
根轨迹意义
概述
[根轨迹定义]：开环系统传递函数的某一个参数 变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化 的轨迹。
利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合
4.1 根轨迹的基本概念
根轨迹定义
例：如图所示二阶系统，
系统开环传递函数为：
Gk(s)
K s(0.5s1)
Kg
1 Kg
，它们都趋
j 1
4.2 根轨迹的绘制法则
3. 根轨迹分支数和它的对称性
➢ 根轨迹分支数与开环极点数相同，也与闭环特征 方程根的数目一致。
闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根 轨迹都对称于实轴。
根轨迹方程为：
m
(s zi )
i 1 n
(s p j)
1 Kg
j 1
4． 实轴上的根轨迹
实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，其中任 一段右侧，如果开环零、极点数目的总和为奇数，那么该段就 一定是根轨迹的一部分。
3 0 4× 0
z3 p4
2
×p 2
2 p
▽
s0
z2
3
×p 3
j
1 p 1 p
×p1
z1
4.2 根轨迹的绘制法则
证明：设 N z为实轴上根轨迹右侧的开环有限零 点数目， N 为p 实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，
④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j
⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j
⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
根轨迹定义
K5
K1
j1
K0
1K0
2 0 j1
根轨迹基本概念
对于一般的反馈控制系统，系统的结构图如下：
R(s)
G(s) C(s)
-
H (s)
闭环传递函数为： 开环传递函数为：