=
D=BC−A2
D
~
wp=g+hE r
p
•对应的方差
p2=
w Vw
T
p p
允许卖空情况下的权重求解
•function [wp,varp]=meanvar(e,V,rp)
•%.求解投资组合权重
•%输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率
列向量
•%输入：V收益率的方差协方差矩阵
•%输入：rp为投资组合的预期回报率
X
0 3
=
XXX3 0
Matlab实现
•Syms x1 x2
•X=[x1 x2]
•F=2*x1+3*x1*x2
•Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)]
•g1=jacobian(Dfdx,X)
向量对向量求一阶导数
•假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
x
如果A为对称阵则
XAX=2AX
X
优化与投资组合理论
总结
•数对列向量求导仍为列向量
XAX=A+A X中
()
X
XAX为标量
X为列向量，
(A+A)X也为列向量
•列向量对列向量求导为矩阵
AX=A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵
X
主要内容
•问题1：给定预期收益，最小化风险
•问题2：给定风险，最大化预期收益
f
2f
f f22
21
ij=
其中
f
•
XX=
x xj
i
f fn2
fnn
n1
•Remark：scalar-valued function of a vector，又称
海赛矩阵，n*n方阵
例子
x
1
x
X=
•假如
2
( )
f X=f(x1,x2)=2x1+3x1x2
f
x2+3x
f
2
3x
1
=
=
X f
1
x
2
(
f
)
=
2f
2
2
1
w
e
3
3
1
121313
2
12
V
=122
2
23 2 3
12
23233
13 1 3
2
投资组合优化
•目标函数
1
1213
2
w
1
(
1 2wVw=w1w2w
)
21
32
31
2
2
23
w
3
2
2
3
w
3
=w11+w+w2+2w1w212+2w1w313+2w w
2 2 2 2 2
2 2 3 3 2 3 23
•约束条件1
•目标函数为线性
maxwTe
w
•约束为非线性约束和线性约束
=2
p
wTVw
wT=1
问题3
•不考虑预期收益，最小化风险
•目标函数为二次型
min1/ 2wTVw
w
•约束为线性约束
wT=1
问题4
•不考虑风险，最大化收益
•目标函数为线性
maxwTe
w
•约束为线性约束
wT=1
允许卖空时投资组合优化
投资组合优化的数学表述
( )
f1X
1
x
( )
f X
X=
2
( )
f X=
2
( )
f X
x
n
m
•f(X)的一阶导数如下：
f11f12
f1n
fij=xf
f f f22
f2n
i
=
21
X
j
fmn
f fm2
m1
Matlab实现
•Syms s t
•V=[s;t]
•f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)]
•dfdx=jacobian(f,V)
•%输出: wp为投资组合权重，列向量
•%输出: varp为投资组合的方差
允许卖空情况下的权重求解
•M=length(e);
•I=ones(M,1);
•A=I'*inv(V)*e;
•B=e'*inv(V)*e;
•C=I'*inv(V)*I;
•D=B*C-A^2;
•g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e))/D;
L=Vw−e−=0
w
p
L=
~
E r−w e=0
T
p
p
L
=1−w=0
T
P
•Remark：第一个等式实际上可以展开n个
投资组合优化的数学表述
•其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因
此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。
•由上述方程可得
wp=(V−1e)+(V−1)
~
E r=(eTV−1e)+(eTV−1)
xi
f f
X
其中fi
•
=
2
f
n
•Remark：scalar-valued function of a vector，又称
梯度
数对向量求二阶导
•假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向
量，因变量取值为标量
( )
f X=f(x1,x2, ,xn)
•定义n阶向量的二阶导数如下：
f11f12
f1n
f2n
•问题3：不考虑预期收益，最小化风
险
•问题4：不考虑风险，最大化预期收
益
问题1
•给定预期收益时，最小化风险
•目标函数为二次型min1/ 2wTVw
w
•约束为线性约束
~
wTe=E r
pHale Waihona Puke w=1T•当不允许卖空时，
0w1
i
•当限制了某个资产投资份额，给定投资权重的
上下界
LiwiUi
问题2
•给定风险时，最大化收益
第十二章投资组合优化
Outline
•矩阵求导简介
•优化知识
•允许卖空情况下的投资组合优化
•不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
•假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向
量，因变量取值为标量
( )
f X=f(x1,x1, ,xn)
•定义n阶向量的一阶导数如下：
f
1
=f
•给定收益情况下风险最小化
•风险采用方差来衡量
•目标函数min1/ 2wTVw
w
•约束条件1wTe=E r~
p
•约束条件2
wT=1
投资组合优化
•其中，w为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维
期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协
方差矩阵,以三维为例
w
1
e
1
1
e e
=1=1
w=w
例子
x
1
x
X=
•假如
2
( )
f X=f(x1,x2)=2x1+3x1x2
f
x2+3x
f
2
3x
1
=
=
X f
1
x
2
(
f
)
=
2f
X
0 3
=
XXX3 0
向量对向量求一阶导数
•假设X为列向量，A为方阵
x
a11a12
a1m
1
x
AX=A
X
a21a22
a2m
A=
X=
2
x
a am2
amm
m1
m
XAX=A+A X
X
()
p
1=(TV−1e)+(TV−1)
投资组合优化的数学表述
•由上述方程可得，拉格朗日乘子
~
CE r−A
p
=
D
~
B−AE r
p
=
D
投资组合优化的数学表述
•由上述方程可求投资组合权重
A=TV−1e=eTV−1
g=1B(V−1I)−A(V−1e)
B=eTV−1e
D
T−1
C=V
1
h C(V−1e)−A(V−1I)
•h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I))/D;
•wp=g+h*rp;
•varp=wp'*V*wp;
e
1
~
(
wTe=w1w2w e we w e w e E r
)
= + + =
3
2
1 1
2 2
3 3
p
e
3
•约束条件2
1
=w1w2w1=1
1
)
(
w
T
3
投资组合优化的数学表述
•第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数
( )
minL=1/ 2wTVw+(E r−w e)+1−w
T
T
p
w..
•第二步，求解一阶条件