姓名 学号 班级 座号 .密 封 线 内 不 要 答 题―――――――――――密――――――――――――――――－封――――――――――――――――线―――――――――――――河南财经学院2008-2009学年第二学期期末考试《微积分Ⅱ》试题B （供2008级全院各专业各班使用）题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分总分合计人（签名） 评卷复核人（签名） .一 填空题(每题3分,共15分)1.=-+⎰-1122)1(dx x x .2.设)(x f 连续,且x dt t f x =⎰-12)(,则=)3(f .3.设幂级数∑∞=1n nn x a ,∑∞=1n nn x b 的收敛半径分别为35与,31则幂级数∑∞=122n nn n x b a 的收敛半径为 . 4.)2(y x f ez x--=-,且当0=y 时2x z =,则=∂∂xz .5.096=+'-''y y y 的通解为二 选择题(每题3分,共15分)1.设,)1()(,sin )(1sin 050dt t x dt ttx txx⎰⎰+==βα则当0→x 时,)(x α是)(x β的 ( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶不等价无穷小D.等价无穷小 2.下列广义积分收敛的是 ( ) A.dx x x e⎰+∞ln B.dx x x e ⎰+∞ln 1C.dx x x e ⎰+∞2)(ln 1D.dx xx e ⎰+∞ln 1 3.设有以下命题 ( ) ①.若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1n n u 收敛②.若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=+11000n n u 收敛③.若,1lim 1>+→∞nn n u u 则∑∞=1n n u 发散 ④.若)(1n n n v u +∑∞=收敛,则∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都收敛则以上命题中正确的是A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.设xye z =,则)1,1(dz 等于 ( )A.zeB.edxC.edyD.)(dy dx e +5.若)(x f 满足,2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f 则)(x f 等于 ( )A.2ln x eB.2ln 2x eC.2ln +x eD.2ln 2+xe得分 评卷人得分 评卷人姓名 学号 班级 座号 .密 封 线 内 不 要 答 题―――――――――――密――――――――――――――――－封――――――――――――――――线―――――――――――――三 计算题(每题8分,共48分)1.计算定积分.12ln 02dx e x ⎰--解 令t e xsin =- 则t x sin ln -= tdt dx cot -= 3分=-⎰-dx ex2ln 021tdt t cot cos 26⋅⎰ππ 4分dt t t ⎰-=262sin sin 1ππ5分 26)cos cot csc (ln ππt t t +-= 7分23)32ln(-+= 8分2.将)21ln(2x x --展成x 的幂级数.1. 解 )21ln(2x x --=)21ln()1ln(x x -++ 3分 =nx n x nn n n n n )2()1()1(1111--+-∑∑∞=-∞=- 7分 =n n nn x n∑∞=---112)1( )2121(<≤-x 8分3.设函数),(y x z z =是由方程2222=+++z y x xyz 所确定的,求z 在点)1,0,1(-处的全微分.2. 解 2222=+++z y x xyz2222-+++=z y x xyz F 2分222zy x x yz F x +++=' 222zy x y xz F y +++='222zy x z xy F z +++=' 5分z z y x xy x z y x yz z x ++++++-='222222 1)1,0,1(='-xzzz y x xy y z y x xz z y ++++++-='222222 2)1,0,1(-='-xz 7分.2dy dx dz -= 8分4.设),sin ,2(x y y x f z -=其中f 有二阶连续偏导数,求.2yx z∂∂∂ 解 ),sin ,2(x y y x f z -=x y f f z x cos 221⋅'+⋅'='21cos 2f x y f '+'= 4分{}]sin )1([cos ]sin )1([2222121211x f f y f x x f f z xy ⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''='' 2221211cos sin cos )cos sin 2(2f x x y f x f x y x f ''+'+''-+''-= 8分得分 评卷人姓名 学号 班级 座号 .密 封 线 内 不 要 答 题―――――――――――密――――――――――――――――－封――――――――――――――――线―――――――――――――5.计算二重积分,arctan σd x y D⎰⎰其中D 是由,422=+y x ,122=+y x x y y ==,0所围成的第一象限的闭区域.解 令θθsin ,cos r y r x == 2分=⎰⎰σd x yDarctan rdr d ⎰⎰421πθθ 5分⎰=4023πθθd 6分 42)43(πθ= 7分6432π=. 8分6.设连续函数)(x f 满足条件,)3()(230xxe dt tf x f +=⎰求)(x f .河 南 财 经 学 院 HENAN INSTITUTE OF FINANCE AND ECONOMICS姓名 学号 班级 座号 .密 封 线 内 不 要 答 题―――――――――――密――――――――――――――――－封――――――――――――――――线―――――――――――――4. 解 ,)3()(230xx e dt t f x f +=⎰ xe xf x f 22)(3)(+='4分xe xf x f 22)(3)(=-')2()()3(2)3(⎰+⎰⎰=---c dx e e e x f dxx dx6分)2(3c ee xx +-=-7分又1)0(=f 所以3=cx x e e x f 2323)(-=.8分四 应用题(每题8分,共16分)1.求由抛物线2y x =与其上一点)1,1(处的法线所围成的平面图形的面积,以及该图形绕x 轴旋转所得旋转体体积.解 2y x =y y '=21 21)1,1(='y 法线方程 32+-=x y 1分法线与曲线交点 )23,49()1,1(- 2分 面积dy y y S ⎰---=1232)23( 4分 48125= 5分体积⎰⎰+--=49232490)32(dx x xdx V x ππ 7分.3263π= 8分 2.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=3. 解,)3()(230x xe dt tf x f +=⎰e xf x f 22)(3)(+=' 4分ex f x f 22)(3)(=-'2()()3(2)3(⎰+⎰⎰=---cdx e e e x f dx x dx 6分 2(3ce e xx +-=- 7分 又评卷人河 南 财 经 学 院 HENAN INSTITUTE OF FINANCE AND ECONOMICS姓名 学号 班级 座号 .密 封 线 内 不 要 答 题―――――――――――密――――――――――――――――－封――――――――――――――――线―――――――――――――(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(2)若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 解 (1) 222121211028321415x x x x x x R ---++=)(10283214152122212121x x x x x x x x L +----++=222121211028311315x x x x x x ---++= 2分令04813121=--='x x L x020831212=--='x x L x 得 25.175.021==x x 4分(2) 222121211028311315x x x x x x L ---++=5.121=+x x 6分作拉格朗日函数)5.1(10283113152122212121-++---++=x x x x x x x x F λ令04813121=+--='λx x F x020831212=+--='λx x F x05.121=-+='x x F λ 得5.1,021==x x 8分五 证明题(每题6分,共6分)设)(),(x x f ϕ为连续函数,试证明{}⎰⎰-=-+aa dx x a f a dx x a f x f x 0)]([)]([)]([ϕϕϕ.证明 {}⎰-+adx x a f x f x 0)]([)]([ϕϕ⎰⎰-+=aadx x a xf dx x xf 0)]([)]([ϕϕ 1分令t a x -=, 2分 则)()]([)()]([0dt t a f t a dx x xf aa---=⎰⎰ϕϕ 3分dt t a f t a a⎰--=0)]([)(ϕdt t a tf dt t a af aa⎰⎰---=0)]([)]([ϕϕ 4分得分 评卷人。