2015年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题2015年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题【梳理自测】一、空间直角坐标系及空间向量的概念1．在空间直角坐标系O －xyz 中，点P (3,2，－1)关于x 轴的对称点的坐标为( ) A ．(3,2,1) B ．(－3,2,1) C ．(3，－2,1) D ．(－3，－2,1)2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,23．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案：1.C 2.A 3.A◆以上题目主要考查了以下内容： (一)(1)名称 内容空间直角坐标系 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz 坐标原点 点O坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M 的坐标常用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 和有序实数组(x ，y ，z )可建立一一对应的关系． (二)空间两点间的距离(1)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.特别地，点P (x ，y ，z )与坐标原点O 的距离为 |OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.(2)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.(三)名称 概念 表示(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R)． (2)运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．二、空间向量的数量积及运算律1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．1 B.15C.35D.752．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 答案：1.D 2.－13◆以上题目主要考查了以下内容： (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【指点迷津】1．一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }；(2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2．二个原则——建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．二个推论①共线向量定理推论 若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. ②共面向量定理推论若OM →、OA →、OB →不共面，则P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件是OP →＝xOM→＋yOA →＋zOB →且x ＋y ＋z ＝1. 考向一 空间向量的线性运算例题 1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC1→.【审题视点】 逐步用三角形法则及向量运算法则 【典例精讲】 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 【类题通法】 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．变式训练1．(2014·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________．解析：连结ON，OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋2 3 MN→＝OM→＋23(ON→－OM→)＝13OM→＋23ON→＝13OM→＋23×12(OB→＋OC→)＝13×12OA→＋13OB→＋13OC→＝16OA→＋13OB→＋13OC→x＝16，y＝13，z＝13.答案：16，13，13考向二共线、共面向量定理及应用例题2 (2014·上饶调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【审题视点】(1)利用向量共面与点共面的关系证明．(2)根据向量共线的关系证．(3)根据向量运算求证．【典例精讲】(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 三点(P ，A ，B )共线 空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB → MP →＝xMA→＋yMB → 对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM→＋yOA →＋(1－x －y )OB →2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明：设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ，则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB1→ ＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵A 1B ⊄平面AC 1D ， ∴A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用例题3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积； (2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． 【审题视点】 ①利用向量夹角公式求sin 〈AB →，AC →〉，代入面积公式． ②向量垂直，数量积为0.【典例精讲】 (1)由题意可得： AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－1，z ＝－1∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．【类题通法】 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算； (3)通过数量积可以求向量的模． 变式训练3．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：连结PB 、PC∴PM →＝12PB →＋12PC →＝12(OB →－12OA →)＋12(OC →－12OA →)＝12OB →＋12OC →－12OA →QN →＝12QA →＋12QC →＝12(OA →－12OB →)＋12(OC →－12OB →) ＝12OA →＋12OC →－12OB → ∴PM →·QN →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋12OB →－OA →⎣⎢⎡12OC →－⎦⎥⎤12OB →－OA →＝14|OC →|2－14(OB →－OA →)2＝14|OC →|2－14|AB →|2＝0 ∴PM ⊥QN .空间“向量平行”与“向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a 、b 同向，则x ，y 的值分别为________．【正解】 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y3.即⎩⎨⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ②把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3. 当⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎨⎧x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.【答案】 1,3【易错点】 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解就忽略了这一点．【警示】 a 与b 同向是a ∥b 的充分而不必要条件．a ∥b 是a 与b 同向的必要而不充分条件． 真题体验1．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：选A.结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.2．(2014·辽宁大连一模)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.215 D.310解析：选B.建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 3．(2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.4．(2012·高考四川卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为坐标轴建系，设A 1(1,0,1)，M (0，12，0)，N (0,1，12)，∴DN →＝(0,1，12)，A 1M →＝(－1，12，－1)∴DN →·A 1M →＝0，∴A 1M ⊥DN .答案：90°======*以上是由明师教育编辑整理======。