-- 1 / 1 《推理与证明》知识归纳总结

第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳：

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征

的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质;

第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察:715211;5.516.5211； 33193211；….对于任意正实数,ab,试写出使211ab成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22ba

推理与证明

推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法

反证法 数学归纳--

1 / 1 ２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()fn表示第n幅图的蜂巢总数．则(4)f=___＿_;()fn=_＿______＿__．

【解题思路】找出)1()(nfnf的关系式

［解析],1261)3(,61)2(,1)1(fff37181261)4(f 133)1(6181261)(2nnnnf 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对

象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;

第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手

［解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为

等体积法， hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 -- 1 / 1 合情推理 １．定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再

进行归纳、类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理．简言之,合情推理就是合乎情理的推理. 2.推理的过程：

从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比

思考探究： 1.归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 2)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

第二部分 演绎推理 学习目标: 理解演绎推理的含义（重点） 掌握演绎推理的模式,会利用三段论进行简单推理(重点、难点） 合情推理与演绎推理之间的区别与联系 一、知识归纳: 演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理又叫逻辑推理．

2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理. 思考探究： 演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式 １.演绎推理的模式采用“三段论”:

(１)大前提——已知的一般原理（M是P）;

(2)小前提——所研究的特殊情况(S是Ｍ); (3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S是P）. ２.从集合的角度看演绎推理: （１）大前提:x∈M且ｘ具有性质P; （2）小前提：y∈S且SM (３)结论:ｙ具有性质P. 演绎推理与合情推理

→提出猜想 -- 1 / 1 合情推理与演绎推理的关系： (1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特说的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2）从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大

前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 第三部分 直接证明与间接证明 学习目标： 1、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 ２、了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 知识归纳： 三种证明方法:

综合法、分析法、反证法 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤: (1) 假设命题的结论不成立； (2） 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (３) 断言假设不成立 (４) 肯定原命题的结论成立 用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为：(1)反设;(2）归谬；(3）结论。 重难点:在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中,选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1 综合法

在锐角三角形ABC中，求证:CBACBAcoscoscossinsinsin

[解析]ABC为锐角三角形，BABA22, xysin在)2,0(上是增函数，BBAcos)2sin(sin

同理可得CBcossin，ACcossin CBACBAcoscoscossinsinsin 考点２ 分析法 已知0ba，求证baba

[解析］要证baba，只需证22)()(baba -- 1 / 1 即baabba2，只需证abb,即证ab 显然ab成立，因此baba成立 总结:注意分析法的“格式”是“要证---只需证－--”,而不是“因为－－-所以---” 考点3 反证法 已知)1(12)(axxaxfx,证明方程0)(xf没有负数根 【解题思路】“正难则反”,选择反证法，因涉及方程的根,可从范围方面寻找矛盾

[解析]假设0x是0)(xf的负数根，则00x且10x且12000xxax

112010000xxax,解得2210x，这与00x矛盾，

故方程0)(xf没有负数根 总结:否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多

第四部分 数学归纳法 学习目标： 1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。 2.掌握数学归纳法证明问题的方法,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ３.能通过“归纳-猜想－证明”处理问题。 知识归纳： 数学归纳法的定义: 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (１)证明当n=n0时命题成立; （２）假设当n=k(𝑘∈𝑁+，且𝑘≥𝑛0）时命题成立,证明ｎ=k＋１时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法

称为数学归纳法. 1.数学归纳法的本质：

无穷的归纳→有限的演绎(递推关系） 2．数学归纳法步骤:

（１）（递推奠基):当ｎ取第一个值n0结论正确； （2）(递推归纳）：假设当n=k(k∈Ｎ*，且ｋ≥n０)时结论正确；（归纳假设) 证明当ｎ＝k+1时结论也正确。(归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从ｎ0开始的所有正整数n都正确。