1三角函数的定义证明.已知锐角△ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD⊥AB于点D在Rt△BCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示：1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。

2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD⊥AB 于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。

3、接下来分别在Rt△ACD和Rt△BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近2点P为△ABC内任意一点，求证点P到△ABC距离和为定值点P为△ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。

若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】证明：连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，过Ｃ作ＡＢ上的高ＡＤ，交ＡＢ于Ｇ。

过Ｐ作ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的重线交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于Ｄ、Ｅ、Ｆ三角形ＡＢＣ面积＝ＡＢ＊ＣＧ／２三角形ＡＢＣ面积＝三角形ＡＢＰ＋ＢＣＰ＋ＣＡＰ面积＝AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2=AB(PD+PE+PF)/2故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2CG=PD+PE+PF即：点P到△ABC距离和为三角形的高，是定值。

（２）若Ｐ在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3，则有：h1+h2-h3=三角形边上的高3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？简证如下：设Ｍ为正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点，Ｍ到面ＡＢＣ，面ＰＡＢ，面ＰＡＣ，面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1，ｈ2，ｈ3，ｈ4．由于四个面面积相等，则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ＝（1/3）·Ｓ△ＡＢＣ·（ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4）．而Ｓ△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2，ＶＰ-ＡＢＣ＝(√2/12)a^3，故ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4＝√3/3a（定值）．4正弦定理的证明过程步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

5余玄定理证明、平面向量证法：∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosBb^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosβ,sinβ),由向量数量积的坐标表示,有向量OA*向量OB=(cosα,sinα)*(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ(1)如果α-β∈[0,π],那公向量OA与向量OB的夹角就是α-β,由向量数量积的定义,有向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cos(α-β)=cos(α-β)于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(2)当α-β不∈[0,π],设向量OA与向量OB的夹角为θ,则向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ另一方面.由图可知α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以cos(α-β)=cosθ也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ所以,对于任意角α,β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ由两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,得两角和的余弦cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,得两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出;sin(α-β)=cos{π/2-(α-β)]=cos{(π/2-α)+β)]=cos(π/2-α)cosβ-sin(π/2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ两角和的正弦公式推导sin(α+β)=sin[α-(-β)]=sinαcos(-β)-cosαsin(-β)sinαcosβ+cosαsinβ注：诱导公式证明6证明三角形的角平分线定理三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin ∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC7射影定理证明直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）^2=BD·DC，（2）（AB）^2=BD·BC ，（3）（AC）^2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。

其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得：（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，即（AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。

8证明:表面积相等的球和正方体,球的体积大于正方体的体积9已知。

a.b.c都是正实数，且ab+bc+ca=1求证：a+b+c大于等于根号3ab≤(a^2+b^2)/2 bc≤(b^2+c^2)/2ca≤(c^2+a^2)/2三个相加得ab+bc+ca=1≤a^2+b^2+c^2∴a^2+b^2+c^2≥1不等式两边同时加上2×(ab+bc+ca)所以(a+b+c)^2≥1+2=3所以a+b+c≥√310已知a大于0,b大于0,求证2ab/a+b小于等于根号ab小于等于a+b/2小于等于根号下a 平方加b平方/2按均值不等式：a+b≥2√(ab)，则：2ab/(a+b)≤√(ab)√(ab)≤(a+b)/2又(a-b)^2≥0则a^2+b^2-2ab≥02ab≤a^2+b^2故((a+b)/2)^2=(a^2+2ab+b^2)/4≤(a^2+a^2+b^2+b^2)/4=(a^2+b^2)/2故（a+b)/2≤√((a^2+b^2)/2)2ab/(a+b)≤√(ab)≤(a+b)/2≤√((a^2+b^2)/2)11设a,b,c属于R+,求证根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=根号2(a+b+c)根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥√[(a+b)^2/2]+√[(b+c)^2/2]+√[(c+a)^2/2]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2=2(a+b+c)/√2=√2*(a+b+c)12已知a，b,c,d都是实数，且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证|ac+bd|<=1令a=cosα，b=sinαc=cosβ，d=sinβ那么：|ac+bd|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(α-β)|<=113已知|x|<=1,|y|<=1,求证：|(x+y)/(1+xy)|<=1证明：│x│≤1,│y│≤1, 所以x+1≥0,y+1≥0,x-1≤0,y-1≤0, 且│xy│≤1,-1≤xy≤1,1+xy≥0, (x+y)/(1+xy)+1 =(x+y+1+xy)/(1+xy )=(x+1)(y+1)/(1+xy)≥0, (x+y)/(1+xy)≥-1, (x+y)/(1+xy)-1=(x+y-1-xy)/(1+xy) =-(x-1)(y-1)/(1+xy)≤0, (x+y)/(1+xy)≤1，所以│(x+y)/(1+xy)│≤1.14已知三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，且三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证1/(a+b)+ 1/(b+c)=3/(a+b+c）A+B+C=180°，2B=A+C=180°-B，则B=60°；则由余弦定理可知：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=cos60°=1/2即(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2a²+c²-b²=aca²+c²=ac+b²a²+c²+ab+bc=ac+b²+ab+bcc(b+c)+a(a+b)=a(b+c)+b(b+c)=(a+b)(b+c)[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]=1[c/(a+b)]+[a/(b+c)]=1[c/(a+b)]+1+[a/(b+c)]+1=1+1+1[c/(a+b)]+[(a+b)/(a+b)]+[a/(b+c)]+[(b+c)/(b+c)]=3[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]=3[1/(a+b)]+[1/(b+c)]=3/(a+b+c)15用综合法证明:若a>0,b>0,则(a^3+b^3)/2 ≥[(a+b)/2]^3证明：(a^3+b^3)/2＝4(a³+b³)/8＝(a³+b³)/8＋3(a³+b³)/8＝(a³+b³)/8+3(a＋b)(a²－ab＋b²)/8≥(a³+b³)/8＋3(a＋b)ab/8 (原理：a²＋b²≥2ab，当且仅当a＝b时取等）＝a³+b³＋3a²b＋3b²a/8＝(a+b)³/8＝[(a+b)/2]³16已知X,Y,Z为3个互不相等的实数,且X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/Z求证(xyz)^2=1由x+1/y=y+1/z得x-y=(y-z)/yz (1),再由x+1/y=z+1/x得x-z=1/x-1/y=(y-x)/xy,再将(1)代入得xy=(z-y)/(x-z) (2)同理,yz=(x-y)/(y-z) (3),xz=(z-x)/(x-y) (4)x^2*y^2*z^2=117已知a,b均为正数求证：a^3+b^3≥a^2b+ab^2a³+b³-(a²b+ab²) =(a-b)(a²-b²)=(a-b)²(a+b) ∵a>0,b>0 ∴a+b>0又∵(a-b)²≥0，∴(a-b)²(a+b)≥0即a³+b³-(a²b+ab²)≥0∴a³+b³≥a²b+ab²18已知实数a大于等于3,求证:根号a-根号（a-1） < 根号（a-2）-根号（a-3）分析法∵a≥3∴a(a-3)≥0，(a-1)(a-2)>0 ∵a^2-3a<a^2-3a+3即a(a-3)<(a-1)(a-2) ∴√[a(a-3)]<√[(a-1)(a-2)]∴2a-3+2√[a(a-3)]< 2a-3+2√[(a-1)(a-2)] 即a+2√[a(a-3)]+a-3<(a-1)+2√[(a-1)(a-2)]+(a-2) ∴[ √a+√(a-3)]^2<[√(a-1)+√(a-2)]^2 ∴√a+√(a-3)<√(a-1)+√(a-2)∴√a-√(a-1)<√(a-2)-√(a-3)19a,b,c属于R+ 证明a^3+b^3+c^3≥3abc证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=(a+b+c)[(a^+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)]/2=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2>=0所以a^3+b^3+c^3>=3abc成立20求证基本不等式公式a+b/2大于等于根号ab由于a、b是正数，则a＋b－2√(ab)=(√a)²－2√(ab)＋(√b)²=[√a－√b]²≥0，即a＋b≥2√(ab) ，就是(a＋b)/2≥√(ab)21 a,b为正数，证明根号ab大于等于2/(1/a+1/b)(用基本不等式证明）a+b>=2√(ab)1/(a+b)<=1/2√(ab) (a>0,b>0两边同时乘上2ab)2ab/(a+b)<=√(ab)2/[(a+b)/ab]<=√(ab)2/(1/a+1/b)<=√(ab)22{十二种点到直线距离公式证明方法}《1．用定义法推导》点P到直线l的距离是点P到直线l 的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q，由l垂直l’可知l’的斜率为B/A《2，用设而不求法推导》《3，用目标函数法推导》《4，用柯西不等式推导》《5．用解直角三角形法推导》设直线l的倾斜角为a，过点P作PM∥y轴交l于G(x1 ，y1)，显然Xl=x。