拉压静不定如图所示结构由刚性横梁AD 、弹性杆1和2组成，梁的一端作用铅垂载荷F ，两弹性杆均长l ，拉压刚度为EA ，试求D 点的垂直位移。

（图上有提示）解：在力F 作用下，刚性梁AD 发生微小转动，设点B 和C 的铅垂位移分别为和，则＝设杆和杆的伸长量分别为△l 1和△l 2，根据节点B 和C 处的变形关系，有1113cos302l δ∆=︒=2221cos602l δδ∆=︒=则△l 1和△l 2的关系为 1232l l ∆=∆ （a ） 由平衡条件，对A 点取矩得 12sin 60sin 3023N N F a F a F a ︒+︒=g g g即 12332l lEAEA F l l∆∆+=g g （b ） 联立方程（a ）和（b ），解得 2127Fll EA∆= D 点位移为 2233362227D a Fll a EAδ∆==∆=g ------------------------------------------------------------------------------------------------------一．摩尔积分 单位载荷法直径80mm d =的圆截面钢杆制成的钢架，在自由端C 处受到集中力1kN F =作用，钢杆的弹性模量为200GPa E =，0.8m R =， 2.4m h =，不计剪力和轴力的影响，试求自由端c 处的水平位移。

（提示：可采用莫尔积分方法求解）题图 解：（1）求梁的内力方程半圆弧BC 段： θθcos )(F F N = )(πθ≤≤0 )cos ()(θθ-=1FR M )(πθ≤≤0 直杆AB 段： F x F N -=)( )(h x ≤≤0 FR x M 2=)( )(h x ≤≤0 （2）求自由端的水平位移在自由端水平方向加单位载荷，如图)(b 所示，由水平单位载荷产生的轴力和弯矩方程分别为：半圆弧BC 段： θθsin )(=N F )(πθ≤≤0)(πθ≤≤0 直杆AB 段： 0=)(x F N )(h x ≤≤0)(h x ≤≤0 由莫尔积分，可得自由端c 处的水平位移为：300032()()()()cos sin 2(1cos )(sin )208.91mmN N C x l l h F x F x M x M x dx dxEA EIF FR FR dx d xdx EA EI EI FR FRh EI EIππδθθθθθ=+=+--+=-+=∑∑⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------二．应力应变分析图2所示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。

（1）从梁表面的A ，B ，C 三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。

（2）定性地绘出A ，B ，C 三点的应力圆。

（3）在各点的单元体上，大致画出主应力单元体图。

（4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在B ，C 两点处的走向。

图2解：（1）中间段是纯弯曲，故切应力为零。

点C 在中性层上，所以正应力为零。

单元体受力如图所示。

图（2）点B 应力圆与τ轴相切，点C 应力圆以原点为圆心，见图。

图（3）主应力单元体如图所示。

图（4）根据第一强度理论，物体是由最大拉应力造成破坏，故裂缝面应垂直于主应力1σ，如图所示。

图------------------------------------------------------------------------------------------------------图示矩形截面h b ⨯简支梁在集中载荷P 作用下.1 在y 方向间距4ha =的A 、B 、C 、D 、E 五点取单元体,定性分析这五点的应力情况, 并指出单元体属于哪种应力状态.(C 点位于中性层)2 若测得梁上D 点在x 及y 方向上的正应变为εx =×10 - 4及εy = ×10 – 4.已知材料的弹性模量 E=200GPa,泊松比μ=.试求D 点x 及y 方向上的正应力.解：1各点的应力状态[10分(每个单元体2分)]A 、E 点为单向应力状态；C 点为纯剪切应力状态；B 、D 点为二向应力状态。

2 求D 点x 及y 方向上的正应力)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=解得： MPa x80=σ0=y σ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图所示薄壁圆筒，未受力时两端与固定支座贴合，试问当内压为p 时筒壁的应力。

筒的长度为l ，内径为D ，壁厚为δ，材料的泊松比为μ。

（00.5μ<<）解：首先，解除右端固定支座，并用约束力R F 代替其作用。

在内压p 作用下，筒壁的轴向和周向正应力分别为,4x ppDσδ= b hx,2ppD τσδ= 根据胡克定律，并考虑到00.5μ<<，得到筒体的轴向变形为,,()(12)04p x p p l pDl l E Eτσμσμδ∆=-=-> 在约束力R F 作用下，筒体的轴向变形则为()RR R F F l F l l EA E D πδ-∆==-利用叠加法，得到筒体的总轴向变形为(12)4R R p F F l pDll l l E E D μδπδ∆=∆+∆=--根据筒的变形协调条件，由上式得补充方程为0l ∆=即(12)04R F l pDlE E D μδπδ--= 由此可得约束力为2(12)4R p D F πμ-=由上述分析可以得到筒壁的轴向和周向正应力分别为42R x F pD pDD μσδπδδ=-=-2pD τσδ=--------------------------------------------------------------------------------------------------------------在一块厚钢块上挖了一条贯穿的槽，槽的宽度和深度都是1cm 。

在此槽内紧密无隙地嵌入了一铝质立方块，其尺寸是111cm ，并受P ＝6kN 压缩力如图示，试求铝立方块的三个主应力。

假定厚钢块是不变形的，铝的E =71GPa ，μ＝。

解()34162316100060111000.33601019.8MPa Paσσσμσσμ--⨯-⨯⨯==+=-⨯⨯=-＝＝------------------------------------------------------------------------------------------------------两端封闭的薄壁圆筒，长度为l ，内径为D ，壁厚为δ，如图所示。

已知材料的弹性模量为E ，泊松比为ν。

筒内无内压时，两端用刚性壁夹住。

筒内承受内压为p 时，求此时圆筒作用于刚性壁上的力。

解：（1）静力关系当圆筒受内压p 时，圆筒受刚性支座的约束力NA F 和NB F 作用，由水平方向的平衡关系可知： N NB NA F F F == 是一次静不定问题（2）几何关系取圆筒的轴向、环向和径向分别为x ，y 和z 向。

由约束条件可得： 0=x ε （3）物理关系由广义Hooke 定律 [])(z y x x Eσσνσε+-=1其中，δπδσD F pD Nx -=4δσ2pDy =0=z σ 故，[][]011==+-=EE z y x x )(σσνσε可得p D F N 4212πν)(-=------------------------------------------------------------------------------------------------------直径40mm D =的铝圆柱，放在厚度为2mm δ=的钢套筒内，且两者之间没有间隙。

作用于圆柱上的轴向压力为40kN P =。

铝的弹性模量及泊松比分别为170GPa E =,3501.=ν ;钢的弹性模量及泊松比分别为210GPa E =，求套筒内的环向应力。

题图解答： 对柱与套筒任意接触两点做应力状态分析（如图所示） 铝圆柱的轴向压应力为：()33223444010Pa 31.8MPa 4010P P A d σππ-⨯⨯'====⨯⨯ 铝圆柱的环向应力和径向应力分别为：21σσ'=' 并设 p ='='21σσ 钢套筒的受力和薄壁圆筒受内压作用相识，所以环向应力为：p p pD 10102210402331=⨯⨯⨯⨯==''--δσ 径向应力和环向应力分别为：02≈''σ ， 03=''σ由于铝圆柱与钢套筒无间隙，因此两者在接触的任意点处的环向应变相等11εε''=' （几何关系） 由广义Hooke 定律：()[]3211111σσνσε'+'-'='E()[]32111σσνσε''+''-''=''E所以()[]EE 1321111σσσνσ''='+'-' 解之，得：MPa p 82.= 所以，钢套筒的环向应力为：11028MPa p σ''=='1''------------------------------------------------------------------------------------------------------直径d ＝10cm 的等截面圆轴的受力情况如图所示。