教案设计
设计说明
数与形之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。

在课堂教学中适当地应用数形结合思想，把握好数形结合的度，就可以把问题化难为易，化繁为简。

在引进新知、建构概念、解决问题时，还可以激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力，提高学生的思维能力。

1.重视数与形之间的联系，找到解题规律。

数形结合思想是小学阶段最重要的一种数学思想，在课堂教学中，重视数与形之间的联系，有助于学生抽象能力的提升。

因此，教学伊始，从观察、分析例1中图与算式的关系入手，引导学生探究算式左边的加数之和与大正方形中每列(或每行)小正方形个数的关系，发现数与形之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。

2.借助数与形之间的关系解决相关问题。

教学例2时，从观察抽象的算式特点入手，先通过简单的计算找到规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用数形结合思想方法的同时，体验到数学的极限思想。

课前准备
教师准备PPT课件
学生准备若干张完全相同的小正方形纸卡
教学过程
⊙问题导入
1.课件出示问题。

小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的健身中心，用了20分钟。

妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。

小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟，然后小兰用了5分钟跑步回到家中，而爸爸用了15分钟走回家中。

上面几幅图中，哪幅图可以用来描述妈妈离家时间和离家距离之间的关系？哪幅图可以用来描述爸爸离家时间和离家距离之间的关系？哪幅图可以用来描述小兰离家时间和离家距离之间的关系？
2.学生讨论、回答。

(图2可以用来描述妈妈离家时间和离家距离之间的关系，因为妈妈在健身中心没停留；图1可以用来描述小兰离家时间和离家距离之间的关系，因为她用了5分钟跑步回到家中；图3可以用来描述爸爸离家时间和离家距离之间的关系，因为他用了15分钟走回家中)
3.揭示课题。

借助图形不但能帮助我们直观了解小兰一家离家时间与离家距离之间的关系，还可以帮助我们解决复杂的代数问题，这节课我们就来研究数与形。

设计意图：通过解决与图形有关的数学问题，使学生关注图形与数学的关系，在调动学生学习的积极性的同时，为新知的学习做好准备。

⊙探究新知
1.教学例1。

(1)课件出示例题。

观察图形，把算式补充完整。

1＝()21＋3＝()21＋3＋5＝()2
(2)观察图形与算式，总结规律。

①观察、讨论。

仔细观察，看一看上面的图形和算式左边的加数有什么关系。

②汇报规律。

[规律一：算式左边加数的个数与对应的大正方形中每列(或每行)小正方形的个数相同；规律二：算式左边的加数之和是大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形所包含的小正方形的个数之和；规律三：算式左边的加数之和正好等于大正方形中每列(或每行)小正方形个数的平方；规律四：算式的左边是从1开始
从第二个加数开始，每个加数是前一个加数的 ⎪2 的连续奇数的和]
(3)运用规律解决问题。

(可借助学具摆一摆)
请你猜想一下，第 4 个图形是什么样的？下面的算式是什么？(根据前 3 个
图形的规律，得出第 4 个图形是由 16 个小正方形拼成的大正方形，每行有 4 个
小正方形，有 4 列。

下面的算式是 1＋3＋5＋7＝42)利用规律直接写一写算式。

①1＋3＋5＋7＝(
)2 (1＋3＋5＋7＝42)
②1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2
(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72)
③________________＝92
(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92)
(4)总结算式规律：从 1 开始连续奇数的和等于这些奇数个数的平方。

2.教学例 2。

(1)课件出示例题。

1 1 1 1 1 1 计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…。

2 4 8 16 32 64
(2)观察、试算、发现规律。

①观察算式中加数的特点，你有什么发现？
⎛ 1⎫ ⎝ ⎭
②分步算一算，你有什么发现？
1 1 3 3 1 7 7 1 15 试算： ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ …
2 4 4 4 8 8 8 16 16
(发现继续加下去，等号右边的分数越来越接近1)
(3)数形结合，验证规律。

①引导验证：你发现的规律成立吗？请结合图示进行验证。

②汇报、交流。

a.结合圆的面积验证：用一个圆的面积表示单位“1”，则原算式可表示为：
b.结合线段图验证：用一条线段表示单位“1”，则原算式可表示为：
从以上两个图形中可以看出，这些分数无止境地加下去，最后结果就是1，这体现了数学中的极限思想。

(4)得出结论。

111111
＋＋＋＋＋＋…＝1
248163264
(5)交流对用数形结合的方法解决问题的感悟。

(数形结合的方法可以把抽象的代数问题形象化，使其直观、简洁、易懂)设计意图：教学时，观察、讨论相结合，引导学生借助不同的几何图形解决例题中的代数问题，使学生在理解、掌握例题中数与形关系的基础上，充分体会用数形结合法解决问题的直观性，感悟极限思想。

⊙巩固练习
1.完成教材108页1题。

(让学生独立读题、分析、解答，鼓励用不同的方法解答)
2.完成教材108页2题。

3.完成教材110页4题。

⊙课堂总结
通过本节课的学习，你学会了哪些解决问题的方法？
⊙布置作业
1.教材109页1题。

2.教材110页3题。

3.教材111页6题。

板书设计
数学广角——数与形
数形结合形象直观。