函数隐性零点问题
近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。

用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。

函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。

根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。

1.不含参函数的隐性零点问题
已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围.
2.含参函数的隐性零点问题
已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则：①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关.
题型一 求参数的最值或取值范围
例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2．
（1）求f （x ）的单调区间；
（2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值．
点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤：
①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）；
②根据零点的意义进行代数式的替换；
③结合前两步，确定目标式的范围。

题型二 不等式的证明
例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f （x ）=
2)
(ln a x x ，其中a 为常数． （1）若a=0，求函数f （x ）的极值；
（2）若函数f （x ）在（0，﹣a ）上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若a=﹣1，设函数f （x ）在（0，1）上的极值点为x 0，求证：f （x 0）＜﹣2．
题型三 对极值的估算
例3.（2017年全国课标1）已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0．
（1）求a ；
（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．
简要分析：通过上面三个典型案例，不难发现处理隐性零点的三个步骤；这里需要强调的是：
第一个步骤中确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二个步骤中进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三个步骤实质就是求函数的值域或最值。

最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现。

变式训练
1．已知函数 f （x ）=22ln )2
1(ax x x x ++（a ∈R ），曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线x+2y ﹣1=0垂直．
（1）求a 的值，并求f （x ）的单调区间；
（2）若λ是整数，当x ＞0时，总有f （x ）﹣（3+λ）x 221x >-
λlnx+241x ，求λ的最大值．
2．设函数f （x ）=e 2x ﹣alnx ．
（Ⅰ）讨论f （x ）的导函数f′（x ）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a+aln
a 2．
3．设函数()ln f x x =，是否存在实数a ,使得2()()()02ax a x f f e f x a
⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.
课后作业
1．已知函数f （x ）=（ae x ﹣a ﹣x ）e x （a ≥0，e=2.718…，e 为自然对数的底数），若f （x ）≥0对于x ∈R 恒成立．
（1）求实数a 的值；
（2）证明：f （x ）存在唯一极大值点x 0，且．
2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k 的最大值．
3．函数f（x）=alnx﹣x2+x，g（x）=（x﹣2）e x﹣x2+m（其中e=2.71828…）．（1）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=﹣1，x∈（0，1]时，f（x）＞g（x）恒成立，求正整数m的最大值．
4．已知函数f（x）=e x+a﹣lnx（其中e=2.71828…，是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数a=0的图象在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅰ）求证：当时，f（x）＞e+1．
5．已知函数f（x）=axe x﹣（a+1）（2x﹣1）．
（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x＞0时，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
6．函数f（x）=xe x﹣ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=﹣x+1．（1）求a和b的值；
（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，求实数m的取值范围．
7．已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1．
（1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间；
（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明．
8．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．
9．已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅰ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．
10．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅰ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．
11．已知函数．
（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅰ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．
12．已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；
（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．。