第7讲解三角形应用举例、选择题1.在相距2 km 的A , B 两点处测量目标点 C ,若/ CAB = 75°,/ CBA = 60°,C 两点之间的距离为（）B ^/2 km则A , A 应 C.V 3 km kmD.2 km解析AC如图，在△ ABC 中，由已知可得/ AC 吐45°,扃2 sin；,/AC = 2迈 x ¥=V 6(km). 答案 A2.—艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向 是南偏东70 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ,那么B ，C 两点间的距离是（）A.10迈海里B.1^/3海里 D.20迄海里解析女口图所示，易知,在 △ ABC 中，AB = 20,/CAB = 30° ,ACB = 45°,BC AB根据正弦定理得討.乔解得BC = 10寸2（海里）. 答案 A3.（2017合肥调研）如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为（）B A /3 a kmA. a km C.>/2aD.2a km解析 由题图可知，/ ACB = 120°,由余弦定理，得 AB 2=AC 2+ BC 2- 2AC BC cosZACB =a 2+ a 2-2a a •—舟卜3a 2,解得 AB = ^/3a(km). 答案 B4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d = 0.6 km , 一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB = 1km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所 用的最短时间为6 min ,则客船在静水中的速度为（）B. 6V 2 km/h D.10 km/h解析 设AB 与河岸线所成的角为0,客船在静水中的速度为V km/h ，由题意 知，sin 0=016= 5，从而cos 0=4，所以由余弦定理得1 4 厂2X —x 2X 1X 5,解得 V = 6讥.选 B.答案 B5. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得/ BCD = 15°,/ BDC = 30°,CD = 30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB等于（）A .^/6C.5迈解析 在^BCD 中，/CBD = 180°-5°-0°W35°.口 Con由正弦定理得s^=砲’所以BC=吨在 Rt ^ABC 中，AB = BCtan ZACB = 15^2x 73= 15^6. 答案 D 、填空题A.8 km/h C.2V34 km/hB.15V 3D.15^/6x 2,+ 12n6. 如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60° 的方向航行了 30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北解析 由已知得/ ACB = 45°, 60°,AC AB AB sin B 20X sin 60° 厂由正弦定理得证=s^，所以AC =s^=m ；5°=“z 6, 所以海轮航行的速度为1006=¥（海里/分）.江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°解析 如图，OM = AOtan45°=0(m), ON = AOtan 30° X 30= 10V3(m)，在^ MON 中，由余弦定理得,MN =寸900+ 300-2X 30X I^^X 乎 =\/300= 10迦m).答案 1^/38.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 塔高为 解析 如图，由已知可得 / BAC = 30°,CAD = 30°，ABCA =60°/ACD = 30°/ADC = 120°.又 AB = 200 m , .'AC ^ 40^3偏东75°的方向，则海轮的速度为海里/分.7.江岸边有一炮台高30 m , 炮台顶部测得俯角分别为角，则两条船相距m. m.30°, 60°，则C:,(m).在^ACD中，由余弦定理得,2 2 2 2AC = 2CD —2CD cos120° 为CD ,••CD = 430(m).答案400三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东a东的方向追赶渔船乙，冈収子用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；⑵求sin a的值.解(1)依题意知，/ BAC= 120°, AB= 12, AC = 10X2 = 20,/ BCA= a 在^ ABC中，由余弦定理，得BC2= AB2+ AC2—2AB AC •os/ BAC=122+ 202—2X 12X 20X cos 120°= 784.解得BC = 28.所以渔船甲的速度为BC= 14海里/时.(2)在^ ABC 中，因为AB= 12,/ BAC= 120°, BC = 28,/ BCA=a 由正弦定理，得s^=sdC"刖. ABsin 120° 12X 2 3^3 即sin a—B C—二―=14.3 n 1~10.(2015 安徽卷)在^ ABC 中，A^4，AB = 6, AC = 3^2,点D 在BC 边上,AD = BD, 求AD 的长.解设^ABC的内角A, B, C所对边的长分别是a, b, c,3 n 由余弦定理，得a2= b2+ c2—2bccos/ BAC= (3^/2)2+ & —2X 3/2X 6Xco^18+ 36 - (— 36) = 90,所以 a = 3/10.n 111.(2016全国m 卷)在^ ABC 中，B =4,BC 边上的高等于3BC,则cos A =()C. -辔n 12解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B = 4，BD = 3BC ，DC =导C ,解析 结合题图示可知，/ DAC = 3- a又由正弦定理，得sin B =bsin / BAC 3>/T0a— 3V 10— 10，由题设知OvBv ^,所以 cos B=y 1 — sin 1 2B=^在^ ABD 中，因为AD = BD ,-—1 3帧 1—W10 - 所以/ ABD = / BAD ，所以/ ADB = n — 2B.由正弦定理，得AD=B10 .A asin a • sin 3.sin ( 3- a B asin a •sin 3'cos ( 3— a) acos a - cos 3 C. sin ( 3- 0)acos a • cos 3 D. cos —D.-盘£0 Casin a asin a• 'AC = ----- = ---------sin ZDAC sin ( p — a)asin osin p在 Rt^ABC 中，AB=ACsin p= ------------sin ( p — a)答案 A13.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°, 30°, 此时气球的高是60 m,贝U 河流的宽度BC 等于_d解析 女口图，/ACD = 30°, ABD = 75°,AD = 60 m , 在 RtAACD 中,CD _」^ _耳 _ 6朋(m),ta nZ\CD tan 30在^ ABC 中，••• AB =（73— 1）海里，AC = 2 海里，/ BAC = 45°+ 75°= 120° 根据余弦定理，可得BC ^ ^/3- 1） 2+ 22-2X 2X ^/3- 1） cos 120° =乂6（海里）.根据正弦定理，可得2X a/ACsin 120° 2 亞sin /ABC= B C == 2 .•••/ ABC = 45°，易知CB 方向与正北方向垂直, 从而/ CBD = 90°+ 30°= 120° . 在^ BCD 中，根据正弦定理，可得在^ACD 中，由正弦定理得:DC _ AC sinZDAC sin am.60 ►北C冲BDsin/ CBD 10t • sin 120° 1sin / BCD = CD= 2，•••/ BCD= 30°，/ BDC = 30°, ••• BD= BC=/6（海里），.f6则有10t = {6, t=论~0.245小时=14.7分钟.故缉私船沿北偏东60。

方向，需14.7分钟才能追上走私船.1 + 2tan/BAD= 1, tan/CAD = 2, tan A= = —3,所以cos A=1 — 1 X 2答案C 12.如图所示，D, C, B三点在地面同一直线上，DC = a,从D , C两点测得A点仰角分别为a, 3 （ aV 9，则点A离地面的高AB等于（）在Rt^ABD 中，BD_ — _ 60 _—6^_60(2—V3)(m),tan /ABD tan 75°2 + \/3••BC = CD —BD = 60衍—60(2—旳=120((3—1)(m).答案120^/3—1）14.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为（U3—1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A 为2海里的C处的缉私船奉命以10/3海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间（注: 76-2.449）. 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则有CD = 1^/3t（海里），BD = 10t（海里）.。