4．通信工程中常用 n 元数组( a1 , a2 , a3 , …, an )表示信息，其中 ai = 0 或 1, i, n ∈ N ．设
u = (a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn ) 表示 u 和 v 中相对碰的元素不同的个数．
2008 年上海交通大学冬令营选拔测试 数学试题
说明：考试时间 2 小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予 A 的 认定。满分 l00 分。 一、填空题 1．若 f ( x) = 2．函数 y =
2x −1 3 ， g ( x) = f −1 ( x) ，则 g ( ) = x 5 2 +1
．
．
x +1 最大值为 x2 + 8
3．等差数列中， 5a8 = 3a13 ，则前 n 项和 S n 取最大值时， n 的值为 4．复数 | z |= 1 ，若存在负数 a 使得 z − 2az + a − a = 0 ，则 a =
2 2
． ．
5．若 cos x − sin x = ，则 cos x − sin x =
(1) u = (0, 0, 0, 0, 0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 1 ； (2) u = (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 3 ； (3)令 w = ， u = ( a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn) （ 0,0,0,0,0 ）
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组，进行主客场比赛． 规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分 比赛结束后前两名可以晋级 (1)由于 4 支队伍均为强队，每支队伍至少得 3 分于是甲专家预测：中国队至少得 10 分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得 1 分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的 对?为什么? (2)若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线?
．
1 3 5 7 ， a3 = ， a7 = − ， a2 = 6 ， a4 = 20 ， a6 = 42 ， a5 = − ， 2 4 6 8
．
a8 = 72 ，此数列的通项公式为
9． 甲、 乙两厂生产同一种商品． 甲厂生产的此商品占市场上的 80％， 乙厂生产的占 20％； 甲厂商品的合格率为 95％， 乙厂商品的合格率为 90％． 若某人购买了此商品发现为次品． 则 此次品为甲厂生产的概率为 ． 10．若曲线 C1 : x − y = 0 与 C2 : ( x − a ) + y = 1 的图像有 3 个交点，则
3 3
1 2
．
6． 数 列 {an } 的通项公式为 an =
1 ， 则这个数列的前 99 项之和 n n + 1 + (n + 1) n
3
.
7． (1 + x) + (1 + x) 2 + … + (1 + x)98 + (1 + x)99 中 x 的系数为 8． 数 列 {an } 中， a1 = − a0 ，
n个 0
求证： d (u , w) + d (v, w)≥d (u , v)
5．曲线 y 2 = 2 px( p＞0) 与圆 ( x − 2) 2 + y 2 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点在 y = xglish@
2 2 2 2
．
答案与解析索取 邮箱：iienglish@
二、解答题 1．30 个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为 a ； 把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b ． (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等?
2． 已知函数， f ( x) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ， 且 f ( x) = x 没有实数根． 那么 f ( f ( x)) = x 是否有实数根?并证明你的结论．