物理竞赛模拟卷(选拔)学号： 学校： 姓名：(考试时间：3小时 满分160分)一、（20分）有两个完全相同的平凸透镜曲面半径均为R ，在空气中的焦距为f 。
现将其中一个凸透镜A 的平面镀银，将另一个凸透镜B 的曲面镀银，光都从未镀银的一面射入。
试求此时平凸透镜A 、B 的焦距。
二、（25分）一根绳子跨过相距2L 等高的两个小轴承，绳的两端各系一质量均为m 的物体A 、B ，绳上位于两轴的中点连接一质量为M 的物体C ，如图所示。
体系物体A 、B 、C 由静止开始同时释放，物体C 将竖直向下运动，忽略轴承的质量及摩擦。
(1) 当连接C 的绳子与竖直方向的夹角α=60°时，C 的速度达到最大，求M m 的值，以及C 的最大速度(2) 若取1M m =，试求当α=60°时物体C 的加速度三、（25分）如图所示，气缸（Ⅰ）（Ⅱ）都是绝热的，底面积均为S ，高度分别为L 2和L 。
气缸中有一绝热轻质薄活塞，可气缸无摩擦的上下滑动。
活塞通过一根劲度系数k 为自然长度为L 的轻弹簧与气缸（Ⅰ）顶部相连.两气缸通过一根很细的截面积为A 的绝热管道相连。
管道中靠近气缸（Ⅱ）处有一个小木塞B 堵住管道，它与管道间最大静摩擦力为f 。
R 是电阻丝，可以通电发热。
C 是压强传感器，当它工作时能控制电阻丝R 的产热速率，使气缸（Ⅰ）上部压强维持在它开始工作时一瞬间的数值。
它的开关在K 处，一旦木塞B 不能维持平衡，就将很快射出而撞击K ，使C 开始工作(图中未画出)。
现在在气缸（Ⅰ）的上、下部分各充入适量理想气体氦气，使它们的压强均为1P ，温度均为1T ，弹簧处于原长；气缸（Ⅱ）中抽成真空。
然后接通电源，缓缓加热。
求最终活塞距气缸底部的距离和此时气缸（Ⅱ）中气体温度。
题中已知数据如下：20.100m ,S =0.500m,L =43.3010N/m,k =⨯ 622.0010m ,A -=⨯0.635N,f =51 1.0010Pa,P =⨯1300K.T =四、（20分）惯性系'S 相对于惯性系S 以速度v 沿x 轴正方向匀速运动，在0'==t t 时两系的坐标原点重合。
在坐标原点o 和'o 处各有一实验者，相对于各自的参考系静止。
'O 处的实验者在'S 系中't 时刻（0'>t ）向O 处实验者发射一个光信号。
(1) S 系中测得'O 处实验者发射一个光信号的时刻t 是多少？(2) O 处实验者看到'O 处实验者发射光信号时，对应于S 系的时刻是多少？(3) 试推导出光源远离观察者时，光的多普勒效应公式。
五、（20分）如图所示，一个带有电量为Q +的不接地的导体球，半径为R ，离球心的距离为R 2处有一带电量为q +的点电荷。
试求当Q 与q 满足什么关系时，点电荷将被导体球吸引。
六、（25分）质量为m 和M 的两物块用原长为a 的橡皮绳相连，拉伸至长为b 后置于摩擦因数为μ的水平桌面上,然后由静止释放，m 和M 都运动起来。
橡皮绳劲度系数为k ，始终在弹性限度以内。
求两物块碰撞前的相对速度大小。
已知m 、M 满足关系：M m mM +=g 6)(μa b k -，M m =ππ393+七、（25分）如图所示，一个质量为m ，半径为a 、厚度为h h (<<)a 的匀质环形导体圆盘可绕通过盘心且垂直盘面的金属轴'OO 转动，金属轴的电阻可忽略。
圆盘上距盘心r 处的电阻率与r 成正比，即r 0ρρ=，0ρ为常量。
整个环形圆盘处在与环面垂直的恒定匀强磁场中，磁感应强度的大小为B 。
转轴与圆盘边缘通过电刷与理想电感L 连成闭合回路。
一切摩擦均不计。
(1)．现用一恒定的外力矩M 作用于圆盘,使它由静止开始转动,求当圆盘转动达到稳定时, 圆盘转动的角速度0ω和通过电感L 的电流0I 。
(2)．在圆盘转动达到稳定后，突然撤去外力矩M ，求以后通过电感L 的电流i 随时间t 的变化方程式。
参考答案及评分标准一、 平凸透镜在空气中焦距为f ，由薄透镜成像公式()12111111n u f R R ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭v 1R R =Q ，2R =∞ 1Rn f ∴=+ ① (1)对平凸透镜A ：光线先经球面折射成像，再经平面反射成像最后再经凹面折射成像。
凸面折射成像：11n n u R-+=v ∞→u ∴ 1nR n =-v 平面镜实物成虚像 凹面折射成像111n n nR R n -+=--v ()21Rn ∴=-v ∴()1212A R f f n ===-v ②(2)对平凸透镜B ：平行光线先经凹面反射成像，再经平面折射成像凹面反射成像: 1112u f R +=='v ∞→u ∴12R =v 再经平面折射成像，由视深公式得：2Rn '=v ∴()22B R Rf f n R f '==+v = ③ 【评分标准】：①4分，②③各8分.二、(1)从释放到绳与竖直线成α角,C 下降高度为H ，C 、A 的速度大小分别为1v ，2v . cot H L α= ① A,B 上升高度sin Lh L α=- ② 112222MgH mgh M m -=+⋅2212v v ③ 根据关联速度得：cos α=21v v ④ 由①②③④式得1v =2cos 2(sin 1)2(2cos )sin M m gL M m αααα+-+ ⑤C 物体速度最大时有：0=C a 对C ： 2T αcos =Mg ⑥对A 、B ： T －mg =A ma ⑦ ==A Cn a a ()ααsin /sin 21L v =231sin L αv ⑧由⑤⑥⑦⑧式得: 4(m M )2－5mM＋(10－63)=0m M =85926.55± 舍去负根 mM =1.324 代入⑤得： max =v ○9(2)若mM =1 则 1=v ○10④式两边求导得：（或由加速度间关系得） 231sin cos A C a a Lαα=+v ○11 径向: αααcos 2cos cos C ma T T mg =-- ○12对A 、B ： T －mg =A ma ○13 对C: 2T αcos －mg =C ma ○14 由○10○11○12○13○14得：C a =(132-)g=0.155g ○15 方向竖直向上【评分标准】：第一问共12分：③④⑥⑦⑧⑨式每式2分.第二问共13分：○10○11○12○13○14○15式每式2分, 方向1分.三、木塞B 维持平衡时两侧压强的最大差距 P ∆53.17510Pa fA==⨯ ① 第一阶段：（I ）下部气体压强1P <P ∆，故B 暂不会被射出。
接通电源后，（I ）上部气体吸热膨胀，活塞下移.当（I ）下部气体压强达到=2P ∆53.17510Pa P =⨯时，B 即被射出。
此时活塞距缸底2L ，由绝热过程方程 ()()γγ221SL P SL P = ② 得到：11220.50000.2500m rP L L L P ⎛⎫=⋅==⎪⎝⎭③ 设（I ）上，下部气体的物质的量均为n : 11nRT SL P = ④ ∴ 2.006mol n = ⑤ 则下部气体温度为：222476.3K P SL T nR == ⑥ 上部气体压强：()2532 4.00010Pa k L L P P S-=+=⨯ ⑦第二阶段：由于B 撞击K ，使C 开始工作，故此后（I ）下部及（Ⅱ）中气体连通，（I ）上部压强恒为3P ，设最终稳定时活塞距缸底x ，（I ）下部及（Ⅱ）中气体温度为4T ，压强为4P ，先假设0x ＞，即活塞未碰底由理想气体状态方程 ()44nRT L x S P =+ ⑧由热学第一定律： =+Q W ∆u○9绝热故0=Q ，W 由（I ）上部气体做功1W ，弹簧做功2W 组成: ()x L S P W -=231-=2W ∆()()2221122P E k L L k L x =---()()()22123221122W W W P S L x k L L k L x ∴=+=-+--- ○10 理想气体内能增量 ∆V nC u =∆T ()2423T T nR -= ○11 故○9式化为: ()()()()2422223232121T T nR x L k L L k x L S P -=---+- ○12由活塞受力平衡可得出压强关系 ()34P Sx L k P =-+ ○13 把⑧○13代入○12得到关于x 的一元二次方程()0223332542322222332=--+--+-+SL P kL kLL nRT kL SL P x kL S P kx解之得：0.0141m x =（负根舍去）,代入○13得：54 2.39710Pa P =⨯ 代入⑧得：4739K T =由于0x ＞故假设成立, 所以最终活塞距气缸底部的距离 0.0141m x = ○14 最终气缸（Ⅱ）中气体温度4739K T = ○15【评分标准】：①②④⑥⑦⑧⑨○10○11○13○15式每式2分, ○14式3分. 四、（1）利用洛伦兹变换公式:2t x t ''+=v① 当0='x 时有:t = ②（2）O 处实验者要能看到这一信号，还必须等光从O '传至0S 系测得O '处实验者发射光信号时，O '与O 相距t v ，光走过这段距离需要tcv 的时间，故O 处实验者看到信号时，对应S 系的时刻1T t t t c c ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭v v ③由②③式得：T '= ④ （3）在④式两边取增量有：∆T =∆t ' ⑤若令△t '表示O '处实验者连续发射两个波峰的时间间隔，则△T 表若令O 处实验者连续接收两个波峰的时间间隔，因此光源发光的频率0υ和接收者测得的频率υ分别为：01t υ='∆ 1Tυ=∆ ⑥ 由⑤⑥式得: 0c c υυ-=+v v ⑦ 这就是光源远离观察者时，光波的多普勒效应公式.【评分标准】：①②③④式每式3分，⑤⑦式每式4分.五、根据静电中衡平衡态叠加原理，导体球外点电荷所受静电力，可以把导体球等效看作两个像电荷：一个像电荷带电q '-，距球心距离为x ，并在点电荷q 与球心连线上，使q 与q '-共同作用下，导体球电势为零；另一个像电荷带电q Q '+，处在导体球球心处。
求q '和x ：在q ，q '-作用下，导体球上各点电势为0，则0==B A ϕϕ 由0A ϕ=得:0kq kq R R x '-=- ① 由0B ϕ=得: 03kq kq R k x'-=+ ② 由①②式得:12q q '=，R x 21= ③ 导体球外点电荷q 受静电力F ，令吸引时F 为负值 ()()()2222R qq Q k x R q kq F '++-'-= ④点电荷q 被吸引，则0F < ⑤ 由③④⑤式解得：718Q q < ⑥ 【评分标准】：①②④⑥式每式5分.六、开始时，M 、m 沿相反方向滑动，设绳拉力为F ，相对加速度为r a . 以地面为参考系，对M 有：M M FF Mg Ma a g Mμμ-=∴=- 以M 为参考系，对m 有：M r F ma mg ma μ+-=2r M m F mg ma Mμ+∴-= ①令0=r a 时，绳伸长量为o x ，则0F kx = mg kx MmM μ20=+ ② 021()()3Mmg x b a M m k μ∴==-+mgμMgM FmF再伸长x ∆则：0()2r M m k x x mg ma M μ++∆-= r M mma k x M+∴=∆ ③ 又r a 的方向与x ∆方向相反，故m 相对于M 做简谐运动.圆频率ω==振幅)(32)(2a b k m M Mmg a b A -=+--=μ相对速度sin )A t b a ωω==-r v 利用参考圆得：21)(32)(31cos -=---=a b a b t ω 23t ωπ∴= 从开始到绳拉力0F =经历时间gab T t μπ63231-==④ 绳拉力0F =时相对速度'r b a =-v ⑤ 令绳拉力0F =时，M 速度大小为M v ，m 速度大小为m v ，质心速度大小为c v . 在地面参考系中，从开始到绳拉力0F =过程中，利用质点系动量定理得：()()c M m gt M m μ-=+v ⑥()c M m M mμ-∴==+v 根据质心速度公式m Mc m M M m-=+v v v ⑦ 相对速度r m M =v v +v ⑧由⑥⑦⑧式得:M v 将ππ393+=M m 代入得：0M =v ⑨ 则此时m速度m =v ○10 然后m 向M 做匀减速运动，222m ga μ=-v v ○11 两物块碰撞前m对地速度v故两物块碰撞前的相对速度为：=v (2)b a > ○12 若2b a ≤，则M 与m 不会相碰。