2011年北方工业大学数学建模
时鹏晓张海亮吴本顺
（理学院统08A-2，艺术学院工设08A-1，机电学院材控08A-2）
摘要：
在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。
关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离
1问题的提出
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？
哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：
表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
2 问题的分析
针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
3 基本假设
假设一：铅球在空中运动时所受到的空气阻力很小，可以忽略； 假设二：铅球在水平方向的运动可以近似看做是匀速直线运动；
假设三：铅球在垂直方向的运动只受到重力影响可近似看做是匀变速直线运动；
假设四：铅球抛出时运动员已到投掷圆边界，投掷远度等于铅球在水平方向运动的距离；
假设五：忽略海拔影响，重力加速度为9.8m/s 2
； 假设六：圆周率π用3.14表示； 假设七：铅球为一质点；
假设八：出手速度和出手角度无关。
4 定义符号说明
t :铅球投掷后在空气中运动的时间)(s ；
1t ：铅球投掷后在垂直方向上以向上的速度运动到静止的时间)(s ；
2t ：铅球投掷后在垂直方向上达到顶点后自由落体落到地面的时间)(s ；
v
：铅球投掷后的初始速度
)/(s m ；
水v ：铅球投掷后在水平方向上的初始分速度)/(s m ；
直v ：铅球投掷后在垂直方向上的初始分速度)/(s m ；
α
：铅球投掷后的初始出手角度)(o ；
h :铅球投掷后的出手高度)(m ；
1h :铅球投掷后在垂直方向上运动到第一次静止时的行进路程)(m ；
2h :铅球投掷后在垂直方向上达到最高点时距离地面的高度)(m ；
g ：铅球投掷后的重力加速度)2^/(s m ；
s
:铅球投掷的实测成绩)(m ；
5 模型的建立 5-1图形示意
图1 图2
图3 图4 5-2根据图形示意可求函数：
αcos v v =水 ；
αsin v v =直；
2g
h 2
1直
v = ；
g
t 直v 1=
；
g
h t 2
22=
；12h h h +=；21t t t +=；t 水v s =。
5-3 建立数学模型
汇总以上所求函数加以简化可以得出以下函数：
()
α
αα22sin 2sin cos v gh v g
v s ++=
模型检验：根据参考数据资料，计算测试成绩并与实测成绩作比较，计算误差 表3
表 4
由上表可知相对误差控制在1%左右，所以模型合理。
6 模型的求解
6-1. 由模型可知，影响铅球投掷远度的因素有：出手高度h ，出手速度v,出手角度α.
6-2. 在炮弹发射问题中（g
v s 22sin 2α=），求得45°为最优发射角度，在铅
球投掷过程中，因为受到出手速度v 和出手高度h 影响，所以最优出手角度偏离45°。
所以不同的出手速度v 和不同的出手高度h 之下最优出手角度不同，给出固定的出手速度v 和出手高度h 后，可用数值法进行计算求得最大的投掷距离下的最优出手角度。
观察参考数据资料，以出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m ，将α从35°到50°划分为30个等长区间，求出最优出手角度的大概范围。
表5
数值模拟
图5
根据以上图表，可知出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m时，最远投掷距离s=20.4993，最优出手角度α=42°，可知出手角度的大概范围在40°到44°之间。
同理，计算在参考数据中，计算投掷距离最远时的出手角度，得出表格
根据以上数据可知：不同运动员，最优出手角度不同，即使同一运动员出手速度、出手高度不同最优出手角度也不同，但是基本分布在42°-42.5°之间.
所以，由数值法分析可知，铅球运动员的最优出手角度在42°-42.5°之间。
6-3.
图6
7
图
图
10
图
6-3-1．用excle进行计算在不同出手角度下，出手速度从12m/s到15m/s变化时的投掷距
离如下表所示（假设出手高度h=2m）：
表8
由上表可知：在不同出手角度下，出手速度在12m/s-15m/s变化时引起的投掷距离距离差很大，约为7m到8m，占到最远投掷距离的32%-34%，占到最近投掷距离的47%-52%。
6-3-2. 用excle进行计算在不同出手速度下，出手角度从42°到42.5°变化时的投掷距离如下表所示：
表9
由上表可知：在不同出手速度下，出手角度在42°-42.5°变化时引起的投掷距离距离差很小，约为0.001m到0.007m，占到最远投掷距离的0.001%-0.030%，占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。
分析以上两组偏差数据，可知出手速度对投掷距离影响偏差约为7-8m，占到最远投掷距离的32%-34%，占到最近投掷距离的47%-52%，而出手角度对投掷距离影响偏差约为0.001-0.007m,只占到最远投掷距离的0.001%-0.030%，占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。
所以可知出手速度对投掷距离影响远大于出手角度对投掷距离的影响。
这个结果表明，教练在训练运动员时，应集中主要精力来增加投掷的初始速度。
7 模型的评价与改进
（1）上面的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力的影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因运动员个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂；
（2）铅球投掷问题的数学模型，可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮等投掷问题，
8 建模体会
在我们的日常生活当中，许多看似简单的物理问题,往往在讨论起来会被转化为复杂抽象的数学问题,对于数学建模的能力，要求也是很高的。
这次试验充分发挥了我们的动手能力，初步了解了建模的思想，对于我们以后的具体问题分析，有着很重要的作用。
参考文献：
[1] 李建臣阚福林《现代推铅球运动》北京体育大学出版社 2007
[2]/course2/gdsx/0507sjyy_03.htm。