三、正态分布
三、正态分布
①已知Z值求面积：
求z=0至某一z值之间的面积； 求两个z值之间的面积； 求某一z值以上或以下的面积；
②已知面积求z值：从附表中p值一列寻找与已
知面积最接近的值，然后在第一列寻找与之对应 的z值。
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用
1、将原始分数转化为标准分数
一、概率及概率分布的一般概念
离散型随机变 量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
二项 分布
泊松 分布
超几何 分布
均匀 分布
正态 分布
指数 分布
其他
一、概率及概率分布的一般概念
2）经验分布与理论分布
依分布函数的来源而划分。 经验分布：是指根据观察或实验所获得的数据而编制 的次数分布或相对频数分布。 理论分布：一是随机变量概率分布的函数——数学模 型，二是按某种数学模型计算出来的总体的次数分布。
P(A)=m/n
先验概率是在特定条件下直接计算出来的， 不是由频率估计出来的，当试验重复次数充分大 时，后验概率接近先验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3 概率的基本性质 1）概率的公理系统
任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数。 不可能事件的概率等于0，P(V)=0。 必然事件的概率等于1，P(U)=1。
二、二项分布
2）二项分布
二项分布（binomi distribution）是一种具有广泛用途 的离散型随机变量的概率分布，由贝努里创造，又叫贝努 里分布。 二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布 ，即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测 值是对立的，因而二项分布又可以说是两个对立事件的概 率分布。
三、正态分布
正态分布（normal distribution):也称常 态分布或者常态分配，是连续随机变量概 率分布的一种，学生成绩的好坏，能力的 高低，身高、体重等身体状态都属于正态 分布。 正态分布是由莫弗1733年发现的，拉普 拉斯，高斯对正态分布的研究也作出了贡 献，所以正态分布有时也称高斯分布。
一、概率及概率分布的一般概念
4 何谓概率分布？
概率分布（probability distribution）是指对随 机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数） 进行描述。
一、概率及概率分布的一般概念
1）离散分布与连续分布
依随机变量是否具有连续性来划分的概率分布。 离散分布：当随机变量只取孤立的数值时，称为离散 随机变量，这种变量的概率分布称作离散分布。 连续分布：指连续随机变量的概率分布，即测量数据 的概率分布。
在比较学生几门学科的总成绩时，可将各科原始分数转化成标准分数 ，求其总和，再比较其总分大小。 标准分数的优点：各科标准分数的单位是绝对等价的；标准分数的数 值大小和正负，可以反映某一考分在团体中所处的位置。
2、确定录取分数线
在选拔性考试中，若考分呈正态分布，可将录取人数比率作为正态分 布中分线右侧的面积，由此找出相应标准分数，已知Z值求原始分数X.
一、概率及概率分布的一般概念
3）基本随机变量分布与抽样分布
这是依概率分布所描述的数据特征而划分的概率分 布类型。 基本随机变量分布：二项分布、正态分布 抽样分布：样本统计量的理论分布，样本统计量有 平均数、方差、标准差、相关系数、回归系数等。
二、二项分布
1 二项试验与二项分布
1）二项试验（贝努里试验） 必须满足以下几个条件： 任何一次实验恰好有两个结果（如由判断题组成的测验）； 共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数； 每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响； 某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的。 （注意：第3、4点有时较难保证，必要时可假设相等。） 例如：某射击手的命中率为0.70，由于身心状态变化，并不 能保证每次都是0.70，但为了计算假设相等。
（6）在正态分布曲线下，标准差与概率有一定的数 量关系。
三、正态分布
3 正态曲线的面积
（1）正态曲线与基线之间某一区间的面积，相当 于能在该区间找到个体的概率。 （2）标准正态曲线下面积的求法： 先将原始变量X值转化成标准分数（Z），因此 标准正态分布也成Z分布。
X
X 为原始数据，X 为平均数，S 为标准差
三、正态分布
（一）正态分布特征 1 正态分布曲线函数（密度函数）
描述正态分布曲线的一般方程为：
Y
N

X

2
2

2
e
2
三、正态分布
Y 表示变量X的高度或纵坐 标 X表示连续变量的任何一点 μ表示平均数 N表示总频数 σ表示此分布的标准差 π表示常数，约为3.14159 e表示常数，即自然对数之 底，约为2.71828
二、二项分布
3）二项各次试验都是彼此独立的，每次试验 某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q(1-p), 则对于某事件出现X次（0，1，2，…，n）的概率分布为：
b x n p C p q
x n x
n x
二、二项分布
2 二项分布图
P(A)≈m/n
当观测次数n无限增大时，计算出的概率估计 值越趋近真实的概率值。这种概率是由事件A出 现的次数决定，因此称为后验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的古典定义（先验概率）
如果某一随机试验的结果有限，而且各个结 果在每次试验中出现的可能性相同，若所有可能 结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果， 则事件A的概率为：
第五章 概率及概率分布
一、概率及概率分布的一般概念
1 引言：什么是概率？
在掷硬币、抛骰子、抽扑克牌的游戏，以及 许多日常生活问题中存在着许多随机现象，又称 随机事件，或简称事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出 现，比如硬币掷起落下后，可能出现牡丹花，也 可能出现国徽图案。 表明随机事件出现可能性的客观指标就是概 率（probability）。
一、概率及概率分布的一般概念
例如：对学生进行考核，该生得优的概率为.10， 得良的概率为0.50，根据加法定理，该生考核成 绩为“优”或“良”的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B) = 0.10+0.50 =0.60
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的乘法定理
两个独立事件同时出现的概率等于该两事件 概率的乘积。所谓独立事件指的是一个事件的出 现对另一个事件的出现不发生影响。 P(A· =P(A)P(B) B) 有限个独立事件积的概率，等于这些事件概 率的乘积。 P(A1·A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用 3、确定等级评定的人数（见教材P79） 4、品质评定数量化
等级数量化分数是将两位老师所评定的各等级人数百分 比分别作为正态曲线下的面积，再以平分每块面积中的Z 值，作为各等级数量化的分数。
练习
• 课内完成本章练习题。
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一、概率及概率分布的一般概念
2 概率的定义 1）频率（相对频数）
随机事件A在n次试验中出现m次，m与n的 比值，就是随机事件A出现的频率，用公式表示 为：W(A)=m/n
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的统计定义（后验概率）
随着试验次数n的无限增大，随机事件A的频 率稳定于一个常数P，这一常数P就是随机事件A 出现概率的近似值，可以表示为：
二、二项分布
4 二项分布的应用
除了用来求成功事件恰好出现X次的概率之外，在教育中 主要用来判断试验结果的真实性与机遇性的界限。
例：有10道正误题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对 几题，才能认为不是出于猜测因素？ 解：已知猜对与猜错的概率p=q=0.5，np=5，此二项分布接近正态分布， 故： μ=np=10 ×0.5=5 σ² =npq=10 ×0.5 ×0.5=2.5，σ=1.58 根据正态分布规律，当Z=1.645时，该点一下包含了全体的95%，原 始分数为μ+1.645Xσ=5+1.645 ×1.58=7.6=8。即完全凭猜测，10道题 中答对8道以下的可能性为95%。
三、正态分布
2 正态曲线的特点
1）曲线在Z=0（X=M d=Mo)处为最高点。 2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称，无论Z是正是负， 平方后，Y值相等。 3）曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但 永不与基线相交。 4）标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。
三、正态分布
（5）曲线从最高点向左右延伸时，在正负一个标准 差之内，既向下又向内弯。
从二项分布图可以看出： 当p=q,不管n多大，二项分 布呈对称形。 当n很大时，二项分布接 近于正态分布。 当n趋近与无限大时，正 态分布是二项分布的 极限。
二、二项分布
3 二项分布的平均数和标准差
当二项分布接近正态分布时，在n次二项试验中 成功事件出现次数的平均数为：
μ=np
方差为：
σ² =npq
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的加法定理
两个互不相容事件（互斥事件）A、B之和 的概率，等于两个事件概率之和。所谓不相容事 件是指在一次试验或调查中，若事件A发生，事 件B就一定不发生。
P（A+B)=P(A)+P(B)
有限个互不相容事件和的概率，等于这些事 件的概率之和。
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)