26
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概率 （Probability） 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
P(AB) P(A|B) = P(B)
27
5.2 概率的乘法公式(multiplicative rule)
5.1 事件的概率
投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着 投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率， 稳定在1/2左右
1.00
0.75
0.50 0.25
0.00
0
25
50 75 试验的次数 10
100
125
概率的性质与运算法则
11
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
22
5.2 概率的加法法则
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的概率 为两个事件分别概率的和减去两个事件交 的概率，即P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A∩B )
知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的 确切结果
5
5.1 随机事件及其概率的概念
事件的概念
事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的
事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的基本法则
3 随机变量的概念20 Nhomakorabea5.2 概率的加法法则
法则一
两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P
13
5.2 概率的概念
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂
男职工
4400 3200 900 8500
女职工
1800 1600 600 4000
合计
6200 4800 1500 12500
习题
炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计
样题
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从
该公司中随机抽取1人，问：
(1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 )
+ …+ P (An )
21
5.2 概率的加法法则
样题
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工， 计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率
习题
答案
解：用A表示“抽中的为炼铁厂职工”这一事件；B
表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一 人为炼铁厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的 和，其发生的概率为
P(A )
m p n
16
5.2 概率的概念
样题
某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为 1000 度。按
照上个月的用电记录， 30 天中有 12 天的用电量超过规定指 标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用 电量超过指标的概率
习题
答案
上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A
14
5.2 概率的概念
• 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司
习题
男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则
P(A )
答案
全公司男性职工人数 8500 0.68 全公司职工总人数 12500
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体
职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则
表示用电超过指标出现了12次据概率的统计定义有
P( A)
超过用电指标天数 12 0.4 试验的天数 30
17
5.2 主观概率定义
主观概率定义
对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只 能根据以往的经验人为确定概率是一个决策者 对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该 事件发生可能性的判断
23
5.2 概率的加法法则
样题
设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读
甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成 年人中有百分之几至少读一种报纸。
习题
答案
设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一
种报纸}。则P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 =0.28 0.28
样题
习题
P ( B) p ( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
33
5.2 贝叶斯公式(逆概公式)
1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式
是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的
原因 2.设n个事件A1，A2，…，An 两两互斥，
概率 （Probability）
1.用来计算两事件交的概率
2.以条件概率的定义为基础 3.设A、B为两个事件，若P(B)>0，则
P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
28
5.2 概率的乘法公式(例题分析)
样题
设有1000件产品，其中850件是正品，150件是
次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次品的概率 是多少？
3 条件概率与 独立事件
12
5.2 概率的概念
概率 定义： 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次 试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该 事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含 的基本事件个数 n 的比值，记为： 公式：
P( A) 事件A所包含的基本事件个数 m ＝ 样本空间所包含的基本 事件个数 n
7
5.1 随机事件及其概率
1 随机事件的 几个基本概念
2 事件的概率
3 概率计算的 几个例子
8
5.1 事件的概率
事件 （Probability）
事件A的概率是对事件A在试验中 出现的可能性大小的一种度量
表示事件A出现可能性大小的数
值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计 定义和主观概率定义 9
的概率，则称两个事件独立 2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，
P(A|B)=P(A)
3.此时概率的乘法公式可简化为
•P(AB)=P(A)·P(B)
4.推广到n个独立事件，有
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
30
5.2 事件的独立性(例题分析)
样题 【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟) 内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8， 丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
24
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
3 条件概率与 独立事件
25
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概念
在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的 概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A
发生的条件概率，记为
P(A|B) =
P(AB) P(B)
习题
答案
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙 台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次 品”。根据贝叶斯公式有： 0.2 5 0.0 5 P( A | B ) 0.3 6 2 3 1 0.0 3 4 5 0.3 5 0.0 4 P ( A2 | B ) 0.4 0 6 0.0 3 4 5 0.4 0.0 2 P ( A3 | B ) 0.2 3 2 0.0 3 4 5 35
习题
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要 看管的概率 答案 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 0.90.8(10.85)=0.108 31
5.2 全概公式
定义
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有
n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
32
5.2 全概公式(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机 床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分 别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合 在一起，求任取一个是次品的概率。 答案 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B 表示“取到次品”。根据全概公式有
习题
答案
设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求