第十一讲流体力学我们通常所说的流体包括了气体和液体。

流体具有形状和大小可以改变的特征，这一点和弹性体是类似的，然而，流体仅仅具备何种压缩弹性，例如，用力推动活塞可以压缩密闭气缸中的气体，在撤消外力后，气体将恢复原状，将活塞推出；但流体不具备抵抗形状改变的弹性，在力的作用下，流体因流动而发生形状的改变，，撤消外力后，流体并不恢复原来的形状，流体的这种性质称为流动性。

流体力学的任务在于研究流体流动的规律以及它与固体之间的相互作用。

一、理想流体无论是气体还是流体都是可以压缩的，只不过在通常的情况下，气体较容易被压缩，而液体难以被压缩。

但是，在一定的条件下，我们常常把流动着的流体看着是不可压缩的，这一点对于液体是比较好理解的，因为在对液体加压时，其何种的改变是极其微小的，是可以忽略的；我们之所以把流动着的气体也看作是不可压缩的，是因为气体的密度小，即使压力差不大，也能够迅速驱使密度较大处的气体流向密度较小的地方，使密度趋于均匀，这样使得流动的气体中各处的密度密度不随时间发生明显的变化，这样，气体的可压缩性便可以不必考虑。

不过，当气流的速度接近或超过声速时，因气体的运动造成的各处的密度不均匀的差别不及消失，这时气体的可压缩性会变得非常的明显，不能再看作是不可压缩的。

总之，在一定的问题中，若可不考虑气体的可压缩性，便可将它抽象为不可压缩的理想模型，反之，则需看作是可压缩的液体。

液体都的或多或少的粘性，在静止液体中，粘性无法表现，在流体流动时，，将明显地表现出粘性。

所谓粘性，就是当流体流动时，层与层之间有阻碍相对运动的内摩擦力，如河流中心的水流速度较快，由于粘性，靠近河岸的水几乎不动。

在研究流体时，若流体的流动性是主要的，粘性居于次要地位时，可认为流体完全没有粘性，这样的理想模型叫做非粘性流体，若粘性起着重要的作用，则需将流体看作粘性流体。

如果在流体的运动过程中，流体的可压缩性和粘性都处于极为次要的地位，就可以把流体看作是理想流体。

理想流体是不可压缩又无粘性的流体。

二、静止流体内的压强1．静止流体内一点的压强首先，我们可以证明：在重力场中，过静止流体内一点的各不同方位无穷小的截面上的压强的大小都是相等的。

这是流体内压强的一条重要的性质。

基于这一点，我们对静止流体内的一点的压强作如下的定义：静止流体内的压强等于过此点任意一假想的微小截面上的压力与该截面的面积之比。

2．静止流体内压强的分布a．在重力场中，静止流体内各等高点的压强相等。

b．沿直方向的压强的分布在重力作用下，静止流体内的压强随流体高度的增加而减小。

如果液体具有自由的表面，且自由表面处的压强为p0，则液体内部深度为h处的压强为p=p0+ρgh (式中ρ为液体的密度)对于气体来说，因密度很小，若高度范围不是很大，则可认为气体内各部分的压强相等。

三、帕斯卡原理和阿基米德原理1．帕斯卡原理作用于密闭容器中的流体压强等值地传到流体各部分和器壁上去。

2．阿基米德原理物体在流体中所受到的浮力等于该物体的流体的重量。

四、描述流体运动的基本概念1．流迹、流线和流管研究流体的运动有两种方法，一种是将流体分为许多无穷小的流体微团，并追踪每个流体微团，并求出它们各自的运动规律。

一定流体微团运动的轨迹叫做该微团的流迹。

研究流体的另一种方法则是把注意力转移到各个空间点，观察各个流体微团经过这些空间点的流速。

事实上，对流体而言，空间每一点均有一定的流速矢量，为了形象地描述流体的运动情况，我们可在流体中画出许多曲线，使得曲线上每一点的切线方向和位于该点处的流体微团的速度方向一致，这种曲线便是流线，如图所示。

一般说来，流线并不与流迹重合，并且空间各点的流速是随时间改变的，因此，流线的走向和分布也是随时间改变的，流线的分布与一定的瞬时相对应。

此外，值得注意的是，流线是不会相交的，因为两流线相交，就意味着相交处有两种流速，这是与流线的定义相矛盾的，也是毫无意义的。

在流体内部画微小的封闭，通过封闭曲线上各点的流线所围成的细管叫做流管，如图所示。

2．定常流动流体内各空间点的流速通常是随时间而变化的。

在特殊的情况下，尽管各空间点的流速不一定相同。

但在任意空间点的流速不随时间而改变，我们把这样的流动叫做定常流动。

3．流量和不可压缩性流体的连续性方程单位时间内通过某横截面的流体的何种就叫做该横截面上的流量。

如图，我们在流管中任意两点画垂直于流线的假想截面ΔS1和ΔS2，与它们之间的流管壁面共同围成封闭体积。

根据流管的性质，流体不能通过壁面出入流管，只能顺流管进入封闭体积并通过ΔS2排出。

又由于讨论的通过ΔS流体是不可压缩的，所以封闭体积内流体的质量恒定，根据质量定恒定律，由ΔS1进入封闭体积的质量和通过ΔS2排出的质量相等；同样，由于不可压缩，密度保持恒定，通过不同截面的质量相等，这表示进出流管的流量相等，即v1ΔS1=v2ΔS2因选择ΔS1、ΔS2时未加任何附加条件，，故上式对任意两个与流线垂直的截面都正确的，一般可写作v ΔS =恒量即对于不可压缩的流体，通过流管各横截面的流量都相等，叫做不可压缩流体的连续原理，上述两式叫做不可压缩流体的连续性方程。

五、伯努利方程伯努利方程是流体力学的基本规律之一，它研究的是理想流体在做定常流动时，流体中的压强和流速之间的关系。

首先，对于无粘性运动的流体，它的内部任一点各处不同方位无穷小的面积上的压强的大小是相等的。

然后，在此前提下，应用功能原理，借助图所示的流管，我们可以推得：21ρv 2+ρgh +p =恒量上式即为伯努利方程。

它表明，在惯性系中，当理想流体在重力作用下作定常流动时，一定流线上(或细流管内)各点的量21ρv 2+ρgh +p 为一恒量。

流体水平流动时，或者高度差不显著时(如气体的流动)，伯努利方程可表达为21ρv 2+ p =恒量显然，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v 大的地方压强p 小，流速v 小的地方压强p 大.六、粘性流体的运动1．粘滞定律前面关于流体力学的讨论，未考虑流体的粘性，对粘性不起主要作用的现象，能够做出一些令人满意的解释。

然而，在另一些情况下，流体的粘性起着主要作用，甚至某些现象从本质上讲是由于粘性所引起的。

这时就不得不考虑流体的粘性。

在粘性流体中取一假想截面，截面两侧流体沿截面以不同的速度运动，即截面两侧的流体具有沿截面的相对速度，则两侧流体间将互相作用沿截面的切向力，较快层流体对较慢层流体施加向前的“拉力”，较慢层流体对较快层流体施加“阻力”，这一对力相当于固体间的“动摩擦力”，因它是流体内部不同部分间的摩擦力，故称为内摩擦力，又称为粘滞力。

图为粘滞流体内部的某一点附近的流动情况，两部分以不同的速率v 1和v 2运动在坐标中以，y 轴与流速v 1和v 2的方向垂直，且用Δy 表示以速率v 1和v 2运动的两层流体间的距离，我们用比值yv v y v ∆-=∆∆12 描述在y 至y +Δy 间流速对空间的变化率。

实验表明：流体内某一面积(ΔS )两侧相互作用的粘滞力f 满足f =ηyv ∆∆ΔS 上式称为粘滞定律。

式中的比例系数η称为粘滞系数。

在国际单位制中η的单位为Pa·s.2.层流与湍流图为一演示实验，在容器下方装水平玻璃管，管端装阀门控制水的流速，容器内另有细管，内装有色液体自开口A 流出．实验时，先令容器内的水缓慢流动，这时，从细管中流出的有色液体呈一条细线，说明有色液体随管中的水一起流动．这种各层之间不相混杂的分层流动，叫做层流．如果开大阀门，使管内流速加快，有色液体流动的稳定性便破坏了，流动具有混杂、紊乱的特征时，叫做湍流．粘性较大的流体在直径较小的管道中慢慢流动，会出现层流，例如石油在管道中的缓慢流动．粘性较小的流体在直径较大的管道中快速流动，就往往形成湍流，例如自来水管中的水流或通风管道中的气流等。

在什么条件下，流体的运动将从层流过渡到湍流呢？由实验发现，用雷诺数可以作为判据．雷诺数即R e =ηρvl 式中ρ为流体密度，v 为流速，η为粘滞系数，l 为物体的某一特征长度，例如管道的直径、机翼的宽度、处于流体中的球体的半径等等．雷诺数为一无量纲数．从层流向湍流的过渡以一定的雷诺数为标志，叫做临界雷诺数R e 临，R e <R e 临时为层流，当R e >R e 临时则变为湍流。

七、物体在流体中受到的阻力物体在流体中运动，受到流体的两种作用力，一种是摩擦力，一种是压力．物体运动所受的阻力也可以归结为由摩擦引起的阻力和由压力差而产生的阻力．一般情况下，我们只讨论由于液体内部的摩擦而引起的阻力，即粘滞阻力。

比较小的物体在粘性较大的流体中缓慢地运动，换句话说，在雷诺数比较小的情况下，作用于物体表面的摩擦阻力，是产生阻力的主要因素，这部分阻力叫做粘滞阻力．对于形状简单的物体，可以通过计算把阻力求出来，其中比较著名的是球形物体在流体中所受的粘滞阻力公式，即f =6πηvr式中r 为球体半径，v 为球体运动速度，η为粘滞系数．这个公式叫做斯托克斯公式，只有在雷诺数比l 小很多时才是正确的，例如雾中水滴降落时所受的阻力即适用此式．本世纪初，密立根证明离子所带电荷为电子电荷的整数倍，即证明电荷的量子性时，在其实验中运用了斯托克斯公式．实验的大致原理是，令带电的油滴在均由的电场中匀速运动，油滴受到重力、电场力以及空气的浮力和粘滞阻力，根据这些力列出油滴的平衡方程式，测出电场强度及油滴速度等，又采用某些其它措施，可求出所带电量．【例题讲解】例1 水坝横截面如图所示，坝长1088m，水深5m，水的密度为1．0×103kg／m3．求水作用于坝身的水平推力．不计大气压．例2 文特利(Venturi)流量计的原理．文特利管常用于测量液体在管道中的流量或流速．图在变截面管的下方，装有U形管，内装水银．测量水平管道内的流速时，可将流量计串连于管道中，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速．已知管道横截面为S1和S2，水银与液体的密度各为ρ汞与ρ，水银面高度差为h，求液体流量．设管中为理想流体作定常流动．例3 皮托(Pitot)管原理．皮托管常用来测量气体的流速．将皮托管用在飞机上，测出空气相对于飞机的流速，也就等于测出飞机相对于空气的航速．如图，开口1和1 与气体流动的方向平行，开口2则垂直于气体流动的方向．两开口分别通向U形管压强计的两端，根据液面的高度差便可求出气体的流速．已知气体密度为ρ,液体密度为ρ液，管内液面高度差为h，求气体流速．气流沿水平方向，皮托管亦水平放置．空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流动．例4 如图所示，匀速直线前进的火箭，发动机燃烧室内高温气体的压强为p，密度为ρ，求气体顺狭窄喷嘴喷出的速度。

喷出前后，气流可视为理想流体作定常流动。